Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(e) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}+b^{2}\right)} d x, a>0, b>0.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se o valor da integral imprópria sobre toda a reta real:
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}+b^{2}\right)}\,dx,
com as condições a>0 e b>0.
  • Informações relevantes dadas pelo enunciado:
    • Os parâmetros a e b são números reais positivos.
    • A integral é sobre x\in(-\infty,\infty).
Neste passo não vou resolver nada ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Escolha da técnica (contorno e integrando complexos) e definição do integrando.
  • Método: usar análise complexa e o Teorema dos Resíduos fechando o eixo real por um semicírculo no semiplano superior. Essa é a técnica padrão para integrais de funções racionais ímpares/pares de x sobre (-\infty,\infty).
  • Defino a função meromorfa complexa
f(z)=\frac{1}{(z^{2}+a^{2})(z^{2}+b^{2})}.
Note que para z=x real, f(x) é o integrando real.
  • Polos de f: zeros do denominador ocorrem em
z=\pm i a,\qquad z=\pm i b.
Como a>0 e b>0, os polos no semiplano superior são z=i a e z=i b.

Passo 3

Escolha do contorno e justificativa de que a contribuição do semicírculo vai para zero.
  • Contorno: traço a reta real de -R a R e fecho com o semicírculo \Gamma_R de raio R no semiplano superior, com orientação positiva. Denoto a integral sobre a reta por I_R=\int_{-R}^{R} f(x)\,dx e sobre o semicírculo por J_R=\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz.
  • Comportamento assintótico: para |z|=R grande, |f(z)|\sim 1/|z|^{4}. Portanto o comprimento do semicírculo é \pi R e a magnitude da integral sobre \Gamma_R satisfaz
|J_R|\le \max_{|z|=R}|f(z)|\cdot \pi R \sim \frac{C}{R^{3}}\to 0\quad\text{quando }R\to\infty.
Assim, a contribuição do semicírculo tende a zero quando R\to\infty (essa é uma versão do Lema de Jordan aplicada a funções que decaem rapidamente).
  • Logo, no limite R\to\infty,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i\sum (\text{resíduos de }f\text{ nos polos no semiplano superior}).í

Passo 4

Cálculo dos resíduos em z=i a e z=i b (caso a\neq b; tratamento do caso a=b depois).
  • Como a\neq b os polos i a e i b são simples. Para um polo simples z=z_0,
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
  • Residuo em z=i a:
\operatorname{Res}(f,i a)=\lim_{z\to i a}\frac{z-i a}{(z-i a)(z+i a)(z^{2}+b^{2})} =\frac{1}{(i a + i a)\big((i a)^{2}+b^{2}\big)}.
Calculo as peças:
i a + i a = 2 i a,\qquad (i a)^{2}+b^{2}=-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}.
Portanto
\operatorname{Res}(f,i a)=\frac{1}{2 i a\,(b^{2}-a^{2})}.
  • Residuo em z=i b:
\operatorname{Res}(f,i b)=\lim_{z\to i b}\frac{z-i b}{(z-i b)(z+i b)(z^{2}+a^{2})} =\frac{1}{(i b + i b)\big((i b)^{2}+a^{2}\big)}.
Calculo as peças:
i b + i b = 2 i b,\qquad (i b)^{2}+a^{2}=-b^{2}+a^{2}=a^{2}-b^{2}.
Portanto
\operatorname{Res}(f,i b)=\frac{1}{2 i b\,(a^{2}-b^{2})}.

Passo 5

Somar os resíduos e aplicar o Teorema dos Resíduos.
  • Escrevo a soma:
S=\operatorname{Res}(f,i a)+\operatorname{Res}(f,i b) =\frac{1}{2 i a (b^{2}-a^{2})}+\frac{1}{2 i b (a^{2}-b^{2})}.
  • Note que a^{2}-b^{2}=-(b^{2}-a^{2}). Uso isso para simplificar:
\frac{1}{2 i b (a^{2}-b^{2})}=-\frac{1}{2 i b (b^{2}-a^{2})}.
Assim
S=\frac{1}{2 i (b^{2}-a^{2})}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
  • Coloco em denominador comum:
\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab},\qquad b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a).
Logo
S=\frac{1}{2 i}\cdot\frac{b-a}{ab(b^{2}-a^{2})} =\frac{1}{2 i}\cdot\frac{1}{ab(b+a)}.
(Aqui cancelei o fator b-a com o de b^{2}-a^{2}.)
  • Pelo Teorema dos Resíduos, a integral sobre a reta real (no limite) é
I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \, S =2\pi i\cdot\frac{1}{2 i}\cdot\frac{1}{ab(a+b)}=\frac{\pi}{ab(a+b)}.

Passo 6

Observações finais e caso especial a=b.
  • O resultado obtido é
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}\,dx=\frac{\pi}{ab(a+b)},\qquad a>0,\\ b>0,\\ a\neq b.
  • Caso a=b: podemos tomar o limite b\to a na expressão encontrada. Fazendo isso:
\lim_{b\to a}\frac{\pi}{ab(a+b)}=\frac{\pi}{a\cdot a\cdot 2a}=\frac{\pi}{2a^{3}}.
Esse é o valor correto para a integral quando a=b, que corresponde à conhecida fórmula
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2a^{3}}.
  • Comentário pedagógico: uma verificação alternativa (sem resíduos) é decompor por frações parciais
\frac{1}{(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}=\frac{1}{b^{2}-a^{2}}\left(\frac{1}{x^{2}+a^{2}}-\frac{1}{x^{2}+b^{2}}\right)
e usar a integral conhecida \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+c^{2}}=\frac{\pi}{c} para cada termo; isso dá o mesmo resultado e é uma boa checagem.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{ab(a+b)}

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