Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(e)
.
(e)
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede-se o valor da integral imprópria sobre toda a reta real:
com as condições
e
.
- Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os parâmetros
e são números reais positivos. - A integral é sobre
.
- Os parâmetros
Neste passo não vou resolver nada ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Escolha da técnica (contorno e integrando complexos) e definição do integrando.
-
Método: usar análise complexa e o Teorema dos Resíduos fechando o eixo real por um semicírculo no semiplano superior. Essa é a técnica padrão para integrais de funções racionais ímpares/pares de
sobre . -
Defino a função meromorfa complexa
Note que para
real,
é o integrando real.
- Polos de
: zeros do denominador ocorrem em
Como
e
, os polos no semiplano superior são
e
.
Passo 3
Escolha do contorno e justificativa de que a contribuição do semicírculo vai para zero.
-
Contorno: traço a reta real de
a e fecho com o semicírculo de raio no semiplano superior, com orientação positiva. Denoto a integral sobre a reta por e sobre o semicírculo por . -
Comportamento assintótico: para
grande, . Portanto o comprimento do semicírculo é e a magnitude da integral sobre satisfaz
Assim, a contribuição do semicírculo tende a zero quando
(essa é uma versão do Lema de Jordan aplicada a funções que decaem rapidamente).
- Logo, no limite
,
Passo 4
Cálculo dos resíduos em
e
(caso
; tratamento do caso
depois).
- Como
os polos e são simples. Para um polo simples ,
- Residuo em
:
Calculo as peças:
Portanto
- Residuo em
:
Calculo as peças:
Portanto
Passo 5
Somar os resíduos e aplicar o Teorema dos Resíduos.
- Escrevo a soma:
- Note que
. Uso isso para simplificar:
Assim
- Coloco em denominador comum:
Logo
(Aqui cancelei o fator
com o de
.)
- Pelo Teorema dos Resíduos, a integral sobre a reta real (no limite) é
Passo 6
Observações finais e caso especial
.
- O resultado obtido é
- Caso
: podemos tomar o limite na expressão encontrada. Fazendo isso:
Esse é o valor correto para a integral quando
, que corresponde à conhecida fórmula
- Comentário pedagógico: uma verificação alternativa (sem resíduos) é decompor por frações parciais
e usar a integral conhecida
para cada termo; isso dá o mesmo resultado e é uma boa checagem.