Use
como fórmulas para a TF e a TFI, respectivamente, para resolver esse e os próximos dois exercícios.
A função de Heaviside
Obtenha a TF de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A definição da transformada de Fourier usada:
- A função de interesse:
com .
O que se pede: obter a transformada de Fourier.
Passo 2
Reduzir o intervalo de integração usando a função de Heaviside. Por definição,
para
e
para
. Portanto, na integral da transformada de Fourier, a contribuição só vem de
. Escrevemos a integral explícita:
Passo 3
Juntar os expoentes para simplificar a integral. Somando as exponenciais,
Assim
Passo 4
Verificar a convergência da integral. Como
, a parte real do expoente é
. Isso garante que
decai exponencialmente quando
, logo a integral imprópria converge. Para avaliar, usamos a primitiva da exponencial:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Avaliar os limites. Para
temos
porque
. Para
temos
. Portanto
Passo 6
Dar uma forma alternativa (útil em provas e aplicações) que separa parte real e imaginária. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Aqui
para todo
, então a forma é bem definida.