Use
F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-\mathbf{i} \omega t} d t \quad \text { e } \quad f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{\mathbf{i} \omega t} d \omega
como fórmulas para a TF e a TFI, respectivamente, para resolver esse e os próximos dois exercícios.
A função de Heaviside H(t)\) é dada por \[H(t)= \begin{cases}0 & \text { para todo } t<0 \\\\ 1 & \text { para todo } t \geq 0\end{cases}
Obtenha a TF de f(t)=H(t) e^{-a t}\], onde \(a>0.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A definição da transformada de Fourier usada: F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-\mathbf{i}\omega t}\,dt.
  • A função de interesse: f(t)=H(t)e^{-a t} com a>0.
    O que se pede: obter a transformada de Fourier F(\omega)=\mathcal{F}\{H(t)e^{-a t}\}.

Passo 2

Reduzir o intervalo de integração usando a função de Heaviside. Por definição, H(t)=0 para t<0 e H(t)=1 para t\ge 0. Portanto, na integral da transformada de Fourier, a contribuição só vem de t\ge 0. Escrevemos a integral explícita:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} H(t)e^{-a t} e^{-\mathbf{i}\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-a t} e^{-\mathbf{i}\omega t}\,dt.

Passo 3

Juntar os expoentes para simplificar a integral. Somando as exponenciais,
e^{-a t} e^{-\mathbf{i}\omega t}=e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}.
Assim
F(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}\,dt.

Passo 4

Verificar a convergência da integral. Como a>0, a parte real do expoente é \Re(a+\mathbf{i}\omega)=a>0. Isso garante que e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t} decai exponencialmente quando t\to\infty, logo a integral imprópria converge. Para avaliar, usamos a primitiva da exponencial:
\int e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}\,dt=-\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}.
Aplicando os limites de 0 a \infty:
F(\omega)=\left[-\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}\right]_{0}^{\infty}.

Passo 5

Avaliar os limites. Para t\to\infty temos e^{-(a+\mathbf{i}\omega)t}\to 0 porque a>0. Para t=0 temos e^{-(a+\mathbf{i}\omega)0}=1. Portanto
F(\omega)=\left(0\right)-\left(-\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}\right)=\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}.

Passo 6

Dar uma forma alternativa (útil em provas e aplicações) que separa parte real e imaginária. Multiplicando numerador e denominador por a-\mathbf{i}\omega obtemos
F(\omega)=\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}=\frac{a-\mathbf{i}\omega}{a^{2}+\omega^{2}}.
Aqui a^{2}+\omega^{2}>0 para todo \omega, então a forma é bem definida.

Resposta

F(\omega)=\frac{1}{a+\mathbf{i}\omega}=\frac{a-\mathbf{i}\omega}{a^{2}+\omega^{2}}

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