Um rapaz lança uma pedra com velocidade inicial de módulo v0 a um ângulo theta0 em relação à horizontal. Acidentalmente, ele acerta o vidro de uma casa, que está à altura h acima do nível de lançamento. Considerando a gravidade g e desprezando a resistência do ar: (2,0)
Determine o tempo total de percurso da pedra no ar.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem um rapaz que lança uma pedra com velocidade inicial de módulo y(t) = v0y,t - tfrac12,g,t^2 num ângulo em relação ao chão. A pedra sobe, entra num vidro que está a uma altura acima de onde ela saiu, e aí para. Precisamos achar o tempo total que a pedra ficou voando até bater nesse vidro.
Conteúdo: cinemática (movimento em duas dimensões sem resistência do ar), em especial a parte vertical (MUV).
O que vamos usar:
  • Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
  • Equação do MUV para a posição vertical:
onde .

Passo 2

Vamos começar decompondo a velocidade inicial:
  • Componente horizontal (não vai influenciar diretamente na altura): v0x = v0costheta0
  • Componente vertical (é a que determina até que altura a pedra chega): v0y = v0sintheta0
Como o vidro está a uma altura y(t) = h , a posição vertical da pedra no instante em que ela bate no vidro é

Passo 3

A equação da posição vertical em MUV (movimento uniformemente variado com aceleração para baixo y(t) = v0y,t - tfrac12,g,t^2 ) é
v0sintheta0,t - tfrac12,g,t^2 = h
Substituindo -tfrac12,g,t^2 + v0sintheta0,t - h = 0 Longrightarrow tfrac12,g,t^2 - v0sintheta0,t + h = 0 e , ficamos com
Vamos rearranjar em forma de equação quadrática em :

Passo 4

Para resolver essa quadrática usamos a fórmula:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde, comparando com a = tfrac12,g, b = -v0sintheta0, c = h , temos
t = -(-v0sintheta0) pm raiz(-v0sintheta0)^2 - 4l(tfrac12gr),h2l(tfrac12gr) = v0sintheta0 pm raiz,v0^2sin^2theta0 - 2gh,g
Então
Temos dois sinais “ ”:
  • O “ ” dá o instante em que ela cruza a altura subindo.
  • O “ ” dá o instante em que ela cruza já descendo (se chegar lá de novo na volta).
Geralmente a batida ocorre logo na subida, então a gente toma o “ ”.

Resposta

t = v0sintheta0 - raiz,v0^2sin^2theta0 - 2gh,g

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