4_A Reação de decomposição do pentóxido de dinitrogênio \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}, é de primeira ordem com constante de velocidade igual a 3,7 \times 10-5 \mathrm{~s}-1, em 298 K . (a) Qual meia vida (em horas) da decomposição do pentóxido de dinitrogênio \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} em 298 K ? (b) \mathrm{Se}\left[\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}\right]_{0}=0,0567 \mathrm{M}, qual será a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} após 3,5 ? (c) Quanto tempo (em minutos) passará até que a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} caia para 0,0135 \mathrm{M} ?

Passo 1

O enunciado trata da cinética de primeira ordem da decomposição de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} em 298 K, cuja constante de velocidade é
k = 3{,}7\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}.
Pede-se:
(a) a meia‐vida t_{1/2} em horas;
(b) a concentração remanescente após 3{,}5 h, partindo de [\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}]_{0}=0{,}0567\,\mathrm{M};
(c) o tempo em minutos para que a concentração caia a 0{,}0135\,\mathrm{M}.

Passo 2

Para reação de primeira ordem, a meia‐vida independe da concentração inicial e vale
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Substituindo k=3{,}7\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}:
t_{1/2} = \frac{0{,}6931}{3{,}7\times10^{-5}} \approx 1{,}8733\times10^{4}\,\mathrm{s}.
Convertendo para horas:
t_{1/2} = \frac{1{,}8733\times10^{4}}{3600} \approx 5{,}21\;\mathrm{h}.

Passo 3

A concentração em função do tempo numa reação de primeira ordem é
[\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}](t) = [\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}]_{0}\,e^{-kt}.
Para t = 3{,}5 h, convertemos para segundos:
t = 3{,}5\times3600 = 1{,}26\times10^{4}\,\mathrm{s}.
Logo
[\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}](3{,}5\,\mathrm{h}) = 0{,}0567\,e^{- (3{,}7\times10^{-5})(1{,}26\times10^{4})} = 0{,}0567\,e^{-0{,}4662} \approx 0{,}0356\;\mathrm{M}.

Passo 4

Para achar o tempo t que leva a concentração a 0{,}0135\,\mathrm{M}, usamos
0{,}0135 = 0{,}0567\,e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{k}\ln\frac{0{,}0567}{0{,}0135}.
Calculando:
\ln\frac{0{,}0567}{0{,}0135} = \ln 4{,}2 \approx 1{,}435, \quad t = \frac{1{,}435}{3{,}7\times10^{-5}} \approx 3{,}8797\times10^{4}\,\mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t = \frac{3{,}8797\times10^{4}}{60} \approx 646{,}6\;\mathrm{min}.

Resposta

(a) t_{1/2}\approx5{,}21\;\mathrm{h}
(b) [\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}](3{,}5\;\mathrm{h})\approx0{,}0356\;\mathrm{M}
(c) t\approx647\;\mathrm{min}

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