Calcule a variação de entropia para uma amostra de 2,0 \mathrm{~mol} de um gás ideal aquecida reversivelmente a partir de 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,5 \mathrm{~atm} até 135^{\circ} \mathrm{C} e 7,00 \mathrm{~atm}. Considere \mathrm{C}_{p, m}=7 / 2 \mathrm{R}\left\{\right. R. \left.-7,3 \mathrm{JK}^{-1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia de n=2{,}0 mol de um gás ideal aquecido reversivelmente de 25^\circ\mathrm C e 1{,}5 atm até 135^\circ\mathrm C e 7{,}00 atm. O conteúdo aqui é termodinâmica de gases ideais, onde usamos a expressão diferencial
\mathrm dS = C_{p}\,\frac{\mathrm dT}{T} - R\,\frac{\mathrm dP}{P}
e integramos mantendo C_{p,m} constante.

Passo 2

Para integrar, lembramos que para um gás ideal com calor molar a pressão constante C_{p,m} constante, a variação de entropia total é
\Delta S = n \int_{T_1}^{T_2} C_{p,m}\,\frac{\mathrm dT}{T} \;-\; n \int_{P_1}^{P_2} R\,\frac{\mathrm dP}{P}
o que resulta na fórmula fechada
\Delta S = n\bigl[C_{p,m}\ln\bigl(\tfrac{T_2}{T_1}\bigr) - R\ln\bigl(\tfrac{P_2}{P_1}\bigr)\bigr].

Passo 3

Agora convertemos as temperaturas para Kelvin:
T_1 = 25^\circ\mathrm C + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm K, \quad T_2 = 135^\circ\mathrm C + 273{,}15 = 408{,}15\\ \mathrm K.
E as pressões em razão adimensional:
\frac{P_2}{P_1} = \frac{7{,}00}{1{,}5} = 4{,}667.

Passo 4

Substituímos n=2{,}0 mol, C_{p,m}=\tfrac{7}{2}R e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}} na expressão:
\Delta S = 2{,}0\Bigl[\tfrac{7}{2}R\ln\bigl(\tfrac{408{,}15}{298{,}15}\bigr) - R\ln(4{,}667)\Bigr].

Passo 5

Calculando cada termo:
\ln\bigl(\tfrac{408{,}15}{298{,}15}\bigr)\approx0{,}3147, \quad \ln(4{,}667)\approx1{,}5404,
\tfrac{7}{2}R\ln\bigl(\tfrac{T_2}{T_1}\bigr)\approx29{,}10\times0{,}3147=9{,}16\\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}}, \quad R\ln\bigl(\tfrac{P_2}{P_1}\bigr)\approx8{,}314\times1{,}5404=12{,}80\\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}}.
Portanto
\Delta S = 2\bigl(9{,}16 - 12{,}80\bigr) = 2\times(-3{,}64) = -7{,}28\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \Delta S \approx -7{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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