Seja a reação irreversível de primeira ordem A \rightarrow B. Sabendo-se que a concentração de A na entrada do reator em batelada é de 0,82 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, que a constante de velocidade é 1,25 \times 10^{-3} s^{-1} e que se deseja uma conversão de 90 \%, calcule o tempo de reação. Em seguida, plote um gráfico da conversão versus o tempo. O que esse gráfico indica?
(\mathbf{t}=\mathbf{3 0 , 7} \mathbf{~ m i n})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o tempo de reação em um reator batelada para atingir conversão de 90\% e traçar (e interpretar) o gráfico da conversão versus tempo. As informações fornecidas são:
  • concentração inicial de A: C_{A0}=0,82\\ \mathrm{mol/L};
  • constante de velocidade (primeira ordem): k=1,25\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1};
  • conversão desejada: X=90\%=0,90.

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial que descreve uma reação irreversível de primeira ordem em batelada. A velocidade de consumo de A é proporcional à sua concentração, portanto:
\frac{dC_A}{dt} = -k\,C_A.
Aqui:
  • C_A(t) é a concentração de A no tempo t;
  • k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{s}^{-1});
  • t é o tempo (em segundos).

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis (é um passo padrão): separamos C_A e t,
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,dt,
integramos ambos os lados de t=0 (onde C_A=C_{A0}) até tempo t (onde C_A=C_A(t)):
\int_{C_{A0}}^{C_A(t)} \frac{dC_A}{C_A} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
As integrais dão:
\ln\!\bigg(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\bigg) = -k t.
Logo, isolando C_A(t),
C_A(t) = C_{A0}\,e^{-k t}.

Passo 4

Definimos conversão X(t) como a fração de A consumida:
X(t)=\frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}}=1-\frac{C_A(t)}{C_{A0}}.
Substituindo C_A(t) achamos a forma fechada da conversão para primeira ordem:
X(t)=1-e^{-k t}.
Interpretação rápida: X(0)=0 e quando t\to\infty, X(t)\to 1 (ou seja, 100\% assintoticamente).

Passo 5

Queremos X(t)=0,90. Usando a fórmula:
0,90 = 1 - e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad e^{-k t} = 0,10.
Tomando logaritmo natural,
-k t = \ln(0,10) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln(0,10)=\frac{1}{k}\ln(10).
Agora calculamos numericamente. Primeiro 1/k:
\frac{1}{k}=\frac{1}{1,25\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}}=800\\ \mathrm{s}.
E \ln(10)\approx 2,302585. Portanto
t = 800\times 2,302585 \approx 1842,07\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t \approx \frac{1842,07}{60}\approx 30,701\\ \mathrm{min}\approx 30,7\\ \mathrm{min}.
Boa notícia: o resultado coincide com o valor informado no enunciado.

Passo 6

Agora vamos fornecer a expressão prática que você usará para plotar e alguns pontos para desenhar o gráfico à mão ou no computador.
Se quiser usar t em minutos, converta a constante:
k_{\text{min}} = k\times 60 = 1,25\times 10^{-3}\times 60 = 0,075\\ \mathrm{min}^{-1},
e então
X(t_{\text{min}})=1-e^{-k_{\text{min}} t_{\text{min}}}.
Alguns pontos (usando t em minutos):
  • t=0\\ \mathrm{min}\Rightarrow X=0.
  • t=5\\ \mathrm{min} ( =300\\ \mathrm{s}) \Rightarrow X=1-e^{-0,00125\times 300}=1-e^{-0,375}\approx 0,313.
  • t=10\\ \mathrm{min} ( =600\\ \mathrm{s}) \Rightarrow X\approx 0,528.
  • t=20\\ \mathrm{min} ( =1200\\ \mathrm{s}) \Rightarrow X\approx 0,777.
  • t\approx 30,7\\ \mathrm{min} ( =1842\\ \mathrm{s}) \Rightarrow X=0,90 (por construção).
  • t=60\\ \mathrm{min} ( =3600\\ \mathrm{s}) \Rightarrow X\approx 0,9889.
Com esses pontos você pode traçar um gráfico suavemente crescente. Se for fazer no computador (Excel, Python, etc.), use a fórmula X(t)=1-\exp(-k_{\text{min}}\,t) com k_{\text{min}}=0,075.

Passo 7

O que o gráfico indica (interpretação física e prática):
  • Forma: curva crescente exponencial que parte de X=0 em t=0 e aproxima-se assintoticamente de X=1 (ou 100\%). Isso significa que nunca se atinge exatamente 100\% em tempo finito, apenas se aproxima.
  • Taxa de crescimento: inicial é mais rápida; depois, à medida que X cresce, a velocidade de aumento da conversão diminui. Matematicamente, \dfrac{dX}{dt}=k(1-X); no instante inicial a inclinação é k (ou k_{\text{min}} se medir em minutos).
  • Consequência prática: para altas conversões (por exemplo > 90\%) o tempo necessário aumenta bastante — há retornos decrescentes. Por isso, em projeto de reatores muitas vezes se avalia se valer a pena operar por tempos longos para ganhos pequenos em conversão.

Resposta

t \approx 30,7\\ \mathrm{min}\nO gráfico de conversão X(t)=1-e^{-k t} mostra crescimento exponencial desacelerado, começando em 0 e aproximando-se assintoticamente de 1 (100% de conversão).

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