Seja a reação irreversível de primeira ordem
. Sabendo-se que a concentração de A na entrada do reator em batelada é de
, que a constante de velocidade é
e que se deseja uma conversão de
, calcule o tempo de reação. Em seguida, plote um gráfico da conversão versus o tempo. O que esse gráfico indica?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o tempo de reação em um reator batelada para atingir conversão de
e traçar (e interpretar) o gráfico da conversão versus tempo. As informações fornecidas são:
- concentração inicial de
: ; - constante de velocidade (primeira ordem):
; - conversão desejada:
.
Passo 2
Vamos escrever a equação diferencial que descreve uma reação irreversível de primeira ordem em batelada. A velocidade de consumo de
é proporcional à sua concentração, portanto:
Aqui:
-
é a concentração de no tempo ; -
é a constante de velocidade (unidade ); -
é o tempo (em segundos).
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis (é um passo padrão): separamos
e
,
integramos ambos os lados de
(onde
) até tempo
(onde
):
As integrais dão:
Logo, isolando
,
Passo 4
Definimos conversão
como a fração de
consumida:
Substituindo
achamos a forma fechada da conversão para primeira ordem:
Interpretação rápida:
e quando
,
(ou seja,
assintoticamente).
Passo 5
Queremos
. Usando a fórmula:
Tomando logaritmo natural,
Agora calculamos numericamente. Primeiro
:
E
. Portanto
Convertendo para minutos:
Boa notícia: o resultado coincide com o valor informado no enunciado.
Passo 6
Agora vamos fornecer a expressão prática que você usará para plotar e alguns pontos para desenhar o gráfico à mão ou no computador.
Se quiser usar
em minutos, converta a constante:
e então
Alguns pontos (usando
em minutos):
-
. -
( ) . -
( ) . -
( ) . -
( ) (por construção). -
( ) .
Com esses pontos você pode traçar um gráfico suavemente crescente. Se for fazer no computador (Excel, Python, etc.), use a fórmula
com
.
Passo 7
O que o gráfico indica (interpretação física e prática):
- Forma: curva crescente exponencial que parte de
em e aproxima-se assintoticamente de (ou ). Isso significa que nunca se atinge exatamente em tempo finito, apenas se aproxima. - Taxa de crescimento: inicial é mais rápida; depois, à medida que
cresce, a velocidade de aumento da conversão diminui. Matematicamente, ; no instante inicial a inclinação é (ou se medir em minutos). - Consequência prática: para altas conversões (por exemplo >
) o tempo necessário aumenta bastante — há retornos decrescentes. Por isso, em projeto de reatores muitas vezes se avalia se valer a pena operar por tempos longos para ganhos pequenos em conversão.