Para a reação de formação do O a partir de oxigênio molecular \left[\frac{1}{2} O_{2}(g) \rightleftharpoons O(g)\right], \Delta G_{r}^{o}=-26,81 \mathrm{kJmol}^{-1} a 4200 K .
(a) Para um sistema cuja composição inicial é de 1,00 \mathrm{~mol} de O_{2}, encontre a extensão de reação ( \xi ) para que o sistema alcance o equilíbrio de reação a uma temperatura de 4200 K e 3,00 bar.
(b) Determine a composição (expressa em fração molar dos componentes) na mistura em equilíbrio a 4200 K e 3,00 bar.

Passo 1

O enunciado trata da reação de formação de átomos de oxigênio a partir de oxigênio molecular:
\frac12\,O_{2}(g)\;\rightleftharpoons\;O(g)
com \Delta G_{r}^{\circ} = -26{,}81\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}} a T=4200\;\mathrm{K}. Precisamos (a) encontrar a extensão de reação \xi no equilíbrio a P=3{,}00\;\mathrm{bar} e (b) determinar as frações molares dos gases no equilíbrio. Para isso usaremos a relação termodinâmica
\Delta G_{r}^{\circ} = -R\,T\ln K_{p}
e a lei de ação de massas para gases ideais K_{p} = \dfrac{p_{O}}{(p_{O_{2}})^{1/2}}, com p_{i}=y_{i}\,P.

Passo 2

Calculamos K_{p} a partir de \Delta G_{r}^{\circ}. Primeiro convertemos \Delta G_{r}^{\circ} para joules por mol:
\Delta G_{r}^{\circ} = -26{,}81\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}} = -26810\;\mathrm{J\,mol^{-1}}.
Usando R=8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T=4200\;\mathrm{K}:
\ln K_{p} = -\frac{\Delta G_{r}^{\circ}}{R\,T} = -\frac{-26810}{8{,}314 \times 4200} \approx 0{,}7677,
K_{p} = \exp(0{,}7677)\approx 2{,}15.

Passo 3

Definimos o avanço \xi de modo que, a partir de n_{O_{2},0}=1{,}00\;\mathrm{mol} e n_{O,0}=0:
n_{O_{2}} = 1 - \tfrac12\,\xi, \quad n_{O} = \xi,
n_{\text{total}} = n_{O_{2}} + n_{O} = 1 - \tfrac12\xi + \xi = 1 + \tfrac12\,\xi.
As frações molares são
y_{O_{2}} = \frac{1 - \tfrac12\xi}{\,1 + \tfrac12\xi\,}, \qquad y_{O} = \frac{\xi}{\,1 + \tfrac12\xi\,}.

Passo 4

A expressão de K_{p} em função das frações molares e da pressão total é
K_{p} = \frac{p_{O}}{(p_{O_{2}})^{1/2}} = \frac{y_{O}\,P}{\bigl(y_{O_{2}}\,P\bigr)^{1/2}} = \frac{y_{O}}{\sqrt{y_{O_{2}}}}\;\sqrt{P}.
Elevando ao quadrado e isolando a parte que depende de \xi:
K_{p}^{2} = \frac{y_{O}^{2}}{y_{O_{2}}}\;P \quad\Longrightarrow\quad \frac{\xi^{2}}{1 - \tfrac14\,\xi^{2}} = \frac{K_{p}^{2}}{P}.

Passo 5

Substituímos K_{p}\approx2{,}15 e P=3{,}00\;\mathrm{bar}:
\frac{\xi^{2}}{1 - \tfrac14\,\xi^{2}} = \frac{(2{,}15)^{2}}{3{,}00} \approx \frac{4{,}62}{3{,}00} = 1{,}54.
Multiplicando:
\xi^{2} = 1{,}54\Bigl(1 - \tfrac14\,\xi^{2}\Bigr) = 1{,}54 - 0{,}385\,\xi^{2} \;\Longrightarrow\; 1{,}385\,\xi^{2} = 1{,}54 \;\Longrightarrow\; \xi^{2} \approx 1{,}113 \;\Longrightarrow\; \xi \approx 1{,}06\;\mathrm{mol}.

Passo 6

Calculamos então as frações molares no equilíbrio:
n_{O_{2}} = 1 - \tfrac12(1{,}06) = 0{,}47\;\mathrm{mol}, \quad n_{O} = 1{,}06\;\mathrm{mol}, \quad n_{\text{total}} = 1{,}53\;\mathrm{mol}.
y_{O_{2}} = \frac{0{,}47}{1{,}53} \approx 0{,}31, \qquad y_{O} = \frac{1{,}06}{1{,}53} \approx 0{,}69.

Resposta

(a) \displaystyle \xi\approx1{,}06\;\mathrm{mol}.
(b) y_{O_{2}}\approx0{,}31,\quad y_{O}\approx0{,}69.

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