Um cristal de sacarose foi adicionado em água líquida pura, mantendo o sistema a temperatura de 25^{\circ} e 1 atm . Em um dado instante observou-se que uma solução saturada foi formada e parte do sólido permaneceu não dissolvida.
(a) Explique termodinamicamente e detalhadamente por que o cristal se dissolveu na água. Faça suas deduções partindo da equação fundamental de Gibbs.
(b) Na solução saturada, qual a condição termodinâmica expressa a condição de equilíbrio de fases para as moléculas de sacarose? E para as moléculas de água? Considere que o cristal de sacarose é anidro.

Passo 1

O enunciado trata da dissolução de um cristal de sacarose em água pura a T=25^\circ\text{C} e p=1,atm, até se formar uma solução saturada em equilíbrio com parte do sólido não dissolvida. Para analisar termodinamicamente, usamos a equação fundamental de Gibbs para um sistema aberto a temperatura e pressão constantes:
dG \;=\;-S\,dT \;+\;V\,dp\;+\;\sum_i \mu_i\,dn_i
Como dT=0 e dp=0, tem-se
dG \;=\;\sum_i \mu_i\,dn_i.
Na dissolução de sacarose, podemos escrever o “processo” elementar como
\text{sacarose (cristal)}\;\longrightarrow\;\text{sacarose (solução)},çã
de modo que, se dn_{\rm cr} for a variação de mols no cristal (negativa) e dn_{\rm sol} a variação na fase líquida (positiva), o termo relevante é
dG \;=\;\mu_{\rm sol}\,dn_{\rm sol}\;+\;\mu_{\rm cr}\,dn_{\rm cr} \;\equiv\;\bigl(\mu_{\rm sol}-\mu_{\rm cr}\bigr)\,dn_{\rm sol}.

Passo 2

Para que a dissolução seja espontânea, é necessário dG<0. Como dn_{\rm sol}>0 enquanto o sólido se dissolve, isso implica
\mu_{\rm sol}<\mu_{\rm cr}.
No início, a sacarose em solução é muito diluída, logo \mu_{\rm sol} é pequeno e a desigualdade vale, dissolvendo o cristal. À medida que a concentração de sacarose cresce, \mu_{\rm sol} aumenta até atingir \mu_{\rm cr}. Nesse ponto dG=0 e a dissolução cessa — atinge-se o equilíbrio de fases.

Passo 3

A condição termodinâmica de equilíbrio de fases para as moléculas de sacarose exige igualdade de potencial químico entre o cristal e a solução:
\boxed{\mu_{\rm sacarose}^{\rm cristal} \;=\;\mu_{\rm sacarose}^{\rm solução}.}çã

Passo 4

As moléculas de água, no enunciado, estão apenas na fase líquida (solução); não há uma fase separada de água pura em equilíbrio. Portanto, não ocorre troca de água entre fases diferentes e seu potencial químico permanece fixo pelas condições externas T e p.
Se, hipoteticamente, houvesse uma fase de água pura em contato com a solução, a condição de equilíbrio seria
\boxed{\mu_{\rm água}^{\rm pura} \;=\;\mu_{\rm água}^{\rm solução},}áçãá
o que equivale a dizer que a atividade da água na solução seria a_{\rm água}=1á. Contudo, no sistema real de solução saturada de sacarose, essa fase pura de água não está presente.

Resposta

(a) A dissolução ocorre espontaneamente enquanto \mu_{\rm sol}<\mu_{\rm cr}; ao aumentar a concentração, \mu_{\rm sol} cresce até igualar \mu_{\rm cr}, quando dG=0.
(b) Equilíbrio de fases para a sacarose:
\mu_{\rm sacarose}^{\rm cristal}=\mu_{\rm sacarose}^{\rm solução}.çã
Para a água, não há fase pura em contato; se houvesse, seria
\mu_{\rm água}^{\rm pura}=\mu_{\rm água}^{\rm solução}.áçãá

Exercícios relacionados