Para a reação genérica
produtos, encontre a forma integrada da lei de velocidade considerando:
a) que a reação é de ordem zero;
b) que a reação é de primeira ordem; e
c) que a reação é de segunda ordem.
a) que a reação é de ordem zero;
b) que a reação é de primeira ordem; e
c) que a reação é de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede a forma integrada da lei de velocidade para a reação genérica
produtos, nas três situações:
a) reação de ordem zero;
b) reação de primeira ordem;
c) reação de segunda ordem.
a) reação de ordem zero;
b) reação de primeira ordem;
c) reação de segunda ordem.
Informações fornecidas e convenções que vou usar (tudo tirado do enunciado e convenções usuais):
- Vou usar
para denotar a concentração da espécie em função do tempo; -
é a concentração inicial de no tempo ; -
é a constante de velocidade (assumida positiva).
A tarefa é obter, para cada caso, a expressão decomo função do tempo (a forma integrada da lei de velocidade).
Passo 2
Conceito-chave e estratégia (sem resolver ainda): a lei de velocidade diferencial relaciona a taxa de variação de
com
e
. Para cada ordem
a equação tem a forma genérica
onde o sinal negativo indica que
decresce. A estratégia para integrar é: escrever a diferencial separando variáveis (colocar os termos com
de um lado e
do outro), e então integrar entre as condições
com
e tempo genérico
com
. Vou aplicar isso caso a caso.
Passo 3
Caso (a) — ordem zero.
Para ordem zero a lei diferencial é
Para ordem zero a lei diferencial é
pois
. Isso significa que a velocidade é constante e igual a
. Agora integro diretamente em
. Separando variáveis não é necessário; basta integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo é a variação de
entre
e
, então
Rearranjando,
Explicação didática: a derivada
é a taxa instantânea de perda de
. Se essa taxa é uma constante
, então a concentração decresce linearmente no tempo com declive
. A constante
tem unidades de concentração por tempo (por exemplo,
) neste caso.
Passo 4
Propriedades e exemplo rápido do caso zero.
- Meça prática: se
e , então após teremos . - Tempo de meia-vida (tempo para
cair para metade de ) é dado por , logo
Observe que aqui o
depende de
.
Passo 5
Caso (b) — primeira ordem.
A lei diferencial é
A lei diferencial é
Essa é a clássica equação exponencial. Faço separação de variáveis: coloco todos os termos envolvendo
de um lado e
do outro,
Agora integro de
(onde
) até tempo
(onde
):
A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural; do direito é
. Assim
Aplicando exponencial em ambos os lados para isolar
,
Explicação didática: a separação e integração transformou uma equação diferencial em uma relação entre logaritmos; fisicamente, a taxa proporcional à concentração leva a decaimento exponencial. Aqui
tem unidades de tempo^{-1} (por exemplo,
).
Passo 6
Propriedades e exemplo do caso primeiro ordem.
- Exemplo numérico: se
e , então após temos . - Meia-vida: para
, usando cancela e dá
Importante: para primeira ordem
é independente de
.
Passo 7
Caso (c) — segunda ordem.
Há duas formas comuns de segunda ordem; aqui assumimos a forma com dependência quadrática em (muito comum para
produtos quando a lei é
):
Há duas formas comuns de segunda ordem; aqui assumimos a forma com dependência quadrática em
Faço separação de variáveis:
Integro de
a
no lado esquerdo e de
a
no lado direito:
A integral do lado esquerdo usa que
. Assim
Simplificando os sinais:
Multiplicando por
e rearranjando,
Essa é a forma integrada típica da segunda ordem (com dependência
). Aqui
tem unidades de concentração^{-1} tempo^{-1} (por exemplo,
).
Passo 8
Propriedades e exemplo do caso segunda ordem.
- Exemplo numérico: se
e , após temos , logo . - Meia-vida: para
, substituindo na forma integrada,
Como
, subtraindo
dos dois lados:
logo
Nota: para segunda ordem o
depende inversamente de
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)