Para a reação genérica A \longrightarrow produtos, encontre a forma integrada da lei de velocidade considerando:
a) que a reação é de ordem zero;
b) que a reação é de primeira ordem; e
c) que a reação é de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede a forma integrada da lei de velocidade para a reação genérica A \longrightarrow produtos, nas três situações:
a) reação de ordem zero;
b) reação de primeira ordem;
c) reação de segunda ordem.
Informações fornecidas e convenções que vou usar (tudo tirado do enunciado e convenções usuais):
  • Vou usar [A] para denotar a concentração da espécie A em função do tempo;
  • [A]_0 é a concentração inicial de A no tempo t=0;
  • k é a constante de velocidade (assumida positiva).
    A tarefa é obter, para cada caso, a expressão de [A] como função do tempo t (a forma integrada da lei de velocidade).

Passo 2

Conceito-chave e estratégia (sem resolver ainda): a lei de velocidade diferencial relaciona a taxa de variação de [A] com [A] e k. Para cada ordem n a equação tem a forma genérica
\frac{d[A]}{dt} = -k [A]^n,
onde o sinal negativo indica que [A] decresce. A estratégia para integrar é: escrever a diferencial separando variáveis (colocar os termos com [A] de um lado e dt do outro), e então integrar entre as condições t=0 com [A]=[A]_0 e tempo genérico t com [A]=[A](t). Vou aplicar isso caso a caso.

Passo 3

Caso (a) — ordem zero.
Para ordem zero a lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k,
pois [A]^0=1. Isso significa que a velocidade é constante e igual a k. Agora integro diretamente em t. Separando variáveis não é necessário; basta integrar ambos os lados em relação a t:
\int_{0}^{t} \frac{d[A]}{dt}\,dt = \int_{0}^{t} (-k)\,dt.
O lado esquerdo é a variação de [A] entre 0 e t, então
[A](t) - [A]_0 = -k t.
Rearranjando,
[A](t) = [A]_0 - k t.
Explicação didática: a derivada \frac{d[A]}{dt} é a taxa instantânea de perda de A. Se essa taxa é uma constante -k, então a concentração decresce linearmente no tempo com declive -k. A constante k tem unidades de concentração por tempo (por exemplo, \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}) neste caso.

Passo 4

Propriedades e exemplo rápido do caso zero.
  • Meça prática: se [A]_0=1,0\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e k=0,05\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}, então após t=10\\ \mathrm{s} teremos [A]=1,0-0,05\cdot 10=0,5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Tempo de meia-vida (tempo para [A] cair para metade de [A]_0) é dado por [A]_0/2=[A]_0-kt_{1/2}, logo
t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}.
Observe que aqui o t_{1/2} depende de [A]_0.

Passo 5

Caso (b) — primeira ordem.
A lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k [A].
Essa é a clássica equação exponencial. Faço separação de variáveis: coloco todos os termos envolvendo [A] de um lado e dt do outro,
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integro de t=0 (onde [A]=[A]_0) até tempo t (onde [A]=[A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural; do direito é -kt. Assim
\ln\!\big([A](t)\big) - \ln\!\big([A]_0\big) = -k t.
Aplicando exponencial em ambos os lados para isolar [A](t),
[A](t) = [A]_0 \, e^{-k t}.
Explicação didática: a separação e integração transformou uma equação diferencial em uma relação entre logaritmos; fisicamente, a taxa proporcional à concentração leva a decaimento exponencial. Aqui k tem unidades de tempo^{-1} (por exemplo, \mathrm{s^{-1}}).

Passo 6

Propriedades e exemplo do caso primeiro ordem.
  • Exemplo numérico: se [A]_0=1,0\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e k=0,2\\ \mathrm{s^{-1}}, então após t=5\\ \mathrm{s} temos [A]=1,0\\ e^{-0,2\cdot 5}=e^{-1}=0,368\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Meia-vida: para [A](t_{1/2})=[A]_0/2, usando [A]_0 e^{-k t_{1/2}}=[A]_0/2 cancela [A]_0 e dá
e^{-k t_{1/2}} = \tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Importante: para primeira ordem t_{1/2} é independente de [A]_0.

Passo 7

Caso (c) — segunda ordem.
Há duas formas comuns de segunda ordem; aqui assumimos a forma com dependência quadrática em [A] (muito comum para A\longrightarrow produtos quando a lei é \propto [A]^2):
\frac{d[A]}{dt} = -k [A]^2.
Faço separação de variáveis:
\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt.
Integro de [A]_0 a [A](t) no lado esquerdo e de 0 a t no lado direito:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]^2} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A integral do lado esquerdo usa que \int x^{-2} dx = -x^{-1}. Assim
\left(-\frac{1}{[A](t)}\right) - \left(-\frac{1}{[A]_0}\right) = -k t.
Simplificando os sinais:
-\frac{1}{[A](t)} + \frac{1}{[A]_0} = -k t.
Multiplicando por -1 e rearranjando,
\frac{1}{[A](t)} = k t + \frac{1}{[A]_0}.
Essa é a forma integrada típica da segunda ordem (com dependência [A]^2). Aqui k tem unidades de concentração^{-1} tempo^{-1} (por exemplo, \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}).

Passo 8

Propriedades e exemplo do caso segunda ordem.
  • Exemplo numérico: se [A]_0=0,1\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e k=1\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}, após t=5\\ \mathrm{s} temos \dfrac{1}{[A]} = 1\cdot 5 + \dfrac{1}{0,1} = 5 + 10 = 15, logo [A]=1/15\approx 0,0667\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Meia-vida: para [A](t_{1/2})=[A]_0/2, substituindo na forma integrada,
\frac{1}{[A]_0/2} = k t_{1/2} + \frac{1}{[A]_0}.
Como \frac{1}{[A]_0/2} = \frac{2}{[A]_0}, subtraindo \frac{1}{[A]_0} dos dois lados:
\frac{1}{[A]_0} = k t_{1/2},
logo
t_{1/2} = \frac{1}{k [A]_0}.
Nota: para segunda ordem o t_{1/2} depende inversamente de [A]_0.

Resposta

a) [A](t) = [A]_0 - k t
b) [A](t) = [A]_0\, e^{-k t}
c) \displaystyle \frac{1}{[A](t)} = k t + \frac{1}{[A]_0}

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