A reação
é primeira ordem com
a 593 K . Qual a porcentagem de reagente que será decomposta por aquecimento a 593 K por
?
Passo 1
O enunciado dá a reação
e informa que é uma reação de primeira ordem com constante de velocidade
à temperatura de 593 K. Pergunta: qual a porcentagem do reagente que será decomposta ao aquecer por
a 593 K?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- constante de velocidade:
- tempo de aquecimento:
(vai precisar converter para segundos) - reação de primeira ordem (isso determina a forma da equação integrada de concentração vs tempo)
Passo 2
Formulemos a lei de velocidade para uma reação de primeira ordem. A forma diferencial da lei é
onde
é a concentração do reagente em função do tempo,
é o tempo, e
é a constante de velocidade. Essa equação significa que a velocidade de decomposição é proporcional à concentração presente do reagente.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos para obter a forma integrada. Fazendo separação:
Integramos ambos os lados, do instante inicial
com concentração inicial
até um tempo
com concentração
:
A integral do lado esquerdo dá
e a do direito dá
. Portanto:
Passo 4
Rearranjando a expressão encontramos a equação integrada muito usada:
Isto significa que a fração do reagente que ainda permanece após tempo
é
Logo, a fração de reagente que foi decomposta é
e a porcentagem de reagente decomposta é
Essa é a fórmula que vamos usar; ela vem diretamente da solução da equação diferencial de primeira ordem que mostrei acima.
Passo 5
Agora calculamos numericamente. Primeiro convertemos o tempo dado para segundos (porque
está em
):
Calculamos o produto
:
Passo 6
Precisamos de
. Sem uma calculadora poderosa dá para obter uma boa aproximação usando a expansão em série ou termos do polinômio exponencial. Usando a expansão de Taylor truncada:
com
. Calculamos os termos:
Somando os termos:
Portanto a fração restante do reagente é
. A fração de reagente decomposta é
Passo 7
Transformando em porcentagem:
Considerando números significativos (o
e o tempo têm três algarismos significativos), arredondamos para três algarismos significativos:
. Parabéns — isso significa que, mesmo aquecendo por 2 horas a 593 K, só cerca de
do
se decompõe sob essas condições de primeira ordem e com essa constante.