A reação \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{SO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g}) é primeira ordem com \mathrm{k}=2,20 \cdot 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1} a 593 K . Qual a porcentagem de reagente que será decomposta por aquecimento a 593 K por 2,00 \mathrm{~h} ?

Passo 1

O enunciado dá a reação \mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{SO}_{2}(\mathrm{g})+\mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{g}) e informa que é uma reação de primeira ordem com constante de velocidade \;k = 2{,}20\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1} à temperatura de 593 K. Pergunta: qual a porcentagem do reagente que será decomposta ao aquecer por \;2{,}00\\ \mathrm{h} a 593 K?
Informações relevantes listadas:
  • constante de velocidade: \;k = 2{,}20\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}
  • tempo de aquecimento: \;t = 2{,}00\\ \mathrm{h} (vai precisar converter para segundos)
  • reação de primeira ordem (isso determina a forma da equação integrada de concentração vs tempo)

Passo 2

Formulemos a lei de velocidade para uma reação de primeira ordem. A forma diferencial da lei é
-\frac{d[\text{A}]}{dt} = k[\text{A}],
onde [\text{A}] é a concentração do reagente em função do tempo, t é o tempo, e k é a constante de velocidade. Essa equação significa que a velocidade de decomposição é proporcional à concentração presente do reagente.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos para obter a forma integrada. Fazendo separação:
\frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados, do instante inicial t=0 com concentração inicial [\text{A}]_0 até um tempo t com concentração [\text{A}]_t:
\int_{[\text{A}]_0}^{[\text{A}]_t}\frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá \ln\!\big([\text{A}]_t\big)-\ln\!\big([\text{A}]_0\big) e a do direito dá -kt. Portanto:
\ln\!\big([\text{A}]_t\big)-\ln\!\big([\text{A}]_0\big) = -kt.

Passo 4

Rearranjando a expressão encontramos a equação integrada muito usada:
[\text{A}]_t = [\text{A}]_0 e^{-kt}.
Isto significa que a fração do reagente que ainda permanece após tempo t é
\frac{[\text{A}]_t}{[\text{A}]_0} = e^{-kt}.
Logo, a fração de reagente que foi decomposta é
1 - e^{-kt},
e a porcentagem de reagente decomposta é
\% \text{decomposta} = 100\cdot\big(1 - e^{-kt}\big).
Essa é a fórmula que vamos usar; ela vem diretamente da solução da equação diferencial de primeira ordem que mostrei acima.

Passo 5

Agora calculamos numericamente. Primeiro convertemos o tempo dado para segundos (porque k está em \mathrm{s}^{-1}):
t = 2{,}00\\ \mathrm{h} = 2{,}00\cdot 3600\\ \mathrm{s} = 7200\\ \mathrm{s}.
Calculamos o produto kt:
k t = \big(2{,}20\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}\big)\cdot 7200\\ \mathrm{s} = 0{,}1584.

Passo 6

Precisamos de e^{-kt} = e^{-0{,}1584}. Sem uma calculadora poderosa dá para obter uma boa aproximação usando a expansão em série ou termos do polinômio exponencial. Usando a expansão de Taylor truncada:
e^{-x} \approx 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24},
com x=0{,}1584. Calculamos os termos:
x = 0{,}1584,
x^{2} = 0{,}02509,\quad \frac{x^{2}}{2}=0{,}012545,
x^{3}=0{,}003972,\quad -\frac{x^{3}}{6}=-0{,}000662,
x^{4}=0{,}000629,\quad \frac{x^{4}}{24}=0{,}0000262.
Somando os termos:
e^{-0{,}1584} \approx 1 - 0{,}1584 + 0{,}012545 - 0{,}000662 + 0{,}0000262 \approx 0{,}85351.
Portanto a fração restante do reagente é \approx 0{,}85351. A fração de reagente decomposta é
1 - 0{,}85351 = 0{,}14649.

Passo 7

Transformando em porcentagem:
\% \text{decomposta} = 100\cdot 0{,}14649 \approx 14{,}649\%.
Considerando números significativos (o k e o tempo têm três algarismos significativos), arredondamos para três algarismos significativos: \;14{,}6\%. Parabéns — isso significa que, mesmo aquecendo por 2 horas a 593 K, só cerca de 14{,}6\% do \mathrm{SO}_2\mathrm{Cl}_2 se decompõe sob essas condições de primeira ordem e com essa constante.

Resposta

14{,}6\%

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