Para a reação \mathrm{H}_{2}+\mathrm{I}_{2} \rightarrow 2 \mathrm{HI} ocorrendo a 700 K foi obtido um valor experimental para a constante de velocidade de 6,4 \times 10^{-2} \mathrm{M}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. A secção de choque dos reagentes é avaliada como um diâmetro de 2 \AA. Usando a teoria de colisões com barreira de energia, estime a energia cinética mínima para colisões efetivas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa da energia cinética mínima para colisões efetivas.
  • Temperatura: T=700\\ \mathrm{K}.
  • Constante de velocidade experimental: k_{\text{exp}}=6{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}.
  • Secção de choque avaliada como diâmetro: d=2\\ \text{\AA} (ou seja, 2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}).
  • Reação bimolecular: \mathrm{H_2}+\mathrm{I_2}\rightarrow 2\,\mathrm{HI}.
O que se pede: estimar a energia cinética mínima para colisões efetivas (ou seja, a energia de ativação E_a associada às colisões que realmente levam à reação), usando teoria de colisões com barreira de energia, a partir dos dados experimentais.

Passo 2

Resumo do método físico-matemático que vamos usar (sem resolver ainda): na teoria de colisões com barreira assume-se que
k = Z\,e^{-E_a/(RT)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui usamos k_{\text{exp}}),
  • Z é a frequência de colisões eficazes por unidade de concentração (taxa de colisões sem considerar a barreira),
  • E_a é a energia de ativação (energia cinética mínima para que a colisão seja efetiva),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura.
Portanto, a estratégia é:
  1. Estimar Z a partir do diâmetro fornecido e da velocidade relativa média entre \mathrm{H_2} e \mathrm{I_2}.
  2. Usar E_a = -RT\ln\!\left(\dfrac{k_{\text{exp}}}{Z}\right).
Antes de calcular, preciso explicar como obter Z com as unidades compatíveis com k em \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 3

Como calcular a secção de choque e a velocidade relativa média.
  • A secção de choque (área efetiva de colisão) para diâmetro d é
\sigma=\pi d^{2}.
Com d=2\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
\sigma=\pi\,(2\times10^{-10})^{2}=\pi\cdot4\times10^{-20}=4\pi\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}\approx1{,}2566\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A velocidade relativa média entre duas partículas (distribuição de Maxwell) é dada por
\bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{\dfrac{8k_B T}{\pi\mu}},
onde k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}) e \mu é a massa reduzida (massa por partícula, em kg). Vou explicar como obter \mu para \mathrm{H_2} e \mathrm{I_2}.

Passo 4

Cálculo da massa reduzida \mu (por partícula).
  • Massas molares (valores padrão aproximados):
    • \mathrm{H_2}: M_{1}=2{,}00\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0{,}00200\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
    • \mathrm{I_2}: M_{2}=254{,}0\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0{,}2540\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • A massa reduzida por mol é
\mu_{\text{mol}}=\dfrac{M_{1}M_{2}}{M_{1}+M_{2}}.
Calculando:
\mu_{\text{mol}}=\dfrac{0{,}00200\times0{,}2540}{0{,}00200+0{,}2540} =\dfrac{0{,}000508}{0{,}2560}\approx0{,}0019844\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • A massa reduzida por partícula (em kg) é \mu=\dfrac{\mu_{\text{mol}}}{N_A}, onde N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}. Assim
\mu\approx\dfrac{0{,}0019844}{6{,}02214\times10^{23}}\approx3{,}2947\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo da velocidade relativa média \bar{v}_{\text{rel}}.
Usamos
\bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{\dfrac{8k_B T}{\pi\mu}}.
Substituindo números:
8k_B T = 8\times1{,}380649\times10^{-23}\times700 \approx 7{,}7316344\times10^{-20}\\ \mathrm{J},
\pi\mu \approx \pi\times3{,}2947\times10^{-27}\approx1{,}0349\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Portanto
\bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{\dfrac{7{,}7316344\times10^{-20}}{1{,}0349\times10^{-26}}} \approx\sqrt{7{,}472\times10^{6}}\approx2{,}734\\ \times10^{3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Derivar a expressão de Z (constante de colisões) nas unidades \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}.
  • Em termos de densidades numéricas (moléculas por m^3), a frequência de colisões por volume é n_A n_B \sigma \bar{v}_{\text{rel}}.
  • Para trabalhar com concentrações em \mathrm{mol\,L^{-1}} ( =\mathrm{M}), a conversão leva a
Z = 1000\,N_A\,\sigma\,\bar{v}_{\text{rel}},
onde 1000 vem da conversão entre \mathrm{m^{3}} e \mathrm{L} e N_A converte mols em moléculas, de modo que Z tem unidade \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} que é igual a \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}.
Explicação curta: seguindo a conta das densidades e conversões (verificação rápida), chega-se em forma fechada a Z=1000\,N_A\,\sigma\,\bar{v}_{\text{rel}}.

Passo 7

Calcular numericamente Z.
Valores:
N_A=6{,}02214\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\quad \sigma\approx1{,}2566\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}},\quad \bar{v}_{\text{rel}}\approx2{,}734\times10^{3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Então
Z=1000\times6{,}02214\times10^{23}\times1{,}2566\times10^{-19}\times2{,}734\times10^{3}.
Calcule passo a passo:
1000N_A\approx6{,}02214\times10^{26},
1000N_A\times\sigma\approx6{,}02214\times10^{26}\times1{,}2566\times10^{-19}\approx7{,}569\times10^{7},
Z\approx7{,}569\times10^{7}\times2{,}734\times10^{3}\approx2{,}07\times10^{11}\\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 8

Relacionar k_{\text{exp}}, Z e E_a e resolver para E_a.
A relação é
k_{\text{exp}}=Z\,e^{-E_a/(RT)}\quad\Rightarrow\quad e^{-E_a/(RT)}=\dfrac{k_{\text{exp}}}{Z}.
Logo
E_a=-RT\ln\!\left(\dfrac{k_{\text{exp}}}{Z}\right)=RT\ln\!\left(\dfrac{Z}{k_{\text{exp}}}\right).
Substituindo R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, T=700\\ \mathrm{K}, Z\approx2{,}07\times10^{11}\\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}} e k_{\text{exp}}=6{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}:
\frac{Z}{k_{\text{exp}}}\approx\frac{2{,}07\times10^{11}}{6{,}4\times10^{-2}}\approx3{,}234\times10^{12},
\ln\!\left(\dfrac{Z}{k_{\text{exp}}}\right)\approx\ln(3{,}234\times10^{12})\approx28{,}80.
Portanto
E_a\approx(8{,}314462618)(700)(28{,}80)\approx1{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando em termos usuais:
E_a\approx1{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}=167\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 9

Converter a energia por mol para energia por colisão (por molécula) e para elétron-volt (eV), caso você prefira ver a energia no nível microscópico.
  • Energia por colisão (por molécula):
E_{\text{por partícula}}=\dfrac{E_a}{N_A}\approx\dfrac{1{,}6738\times10^{5}}{6{,}02214\times10^{23}}\\ \mathrm{J}\approx2{,}78\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.í
  • Converter para eV usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E_{\text{por partícula}}\approx\dfrac{2{,}78\times10^{-19}}{1{,}60218\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx1{,}73\\ \mathrm{eV}.í

Resposta

E_a \approx 1{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx167\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
E_{\text{mínima por colisão}} \approx 2{,}78\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx1{,}73\\ \mathrm{eV}íã

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