6 - A reação 2 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B} ocorre em um reator contínuo não ideal. A 300 K , a velocidade específica de reação é de 0,5 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol} / \mathrm{min}. Em um teste com traçador, a concentração de traçador aumentou linearmente para 1 \mathrm{mg} / \mathrm{dm}^{3} no tempo de 1 minuto e então diminuiu linearmente para zero no tempo exatamente de 2 minutos. A puro entra no reator a uma temperatura de 300 K , com concentração inicial de 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3}. Se a reação ocorre isotermicamente a 300 K , quais conversões são previstas pelos modelos de segregação e de mistura máxima.

Passo 1

O enunciado dá uma reação de segunda ordem 2A \to B com lei cinética
-\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A^2,
onde k=0{,}5, \mathrm{dm}^3/\mathrm{mol}/\min, e um ensaio de traçador que revela uma distribuição de tempos de residência (RTD) triangular de duração total 2, \min. A concentração de alimentação é C_{A0}=2, \mathrm{mol/dm}^3 e a operação é isotérmica a 300 K. Vamos calcular a conversão média nos dois modelos de não idealidade:
– Modelo de segregação (não há mistura entre elementos de fluido)
– Modelo de mistura máxima (mistura completa equivalente a um CSTR ideal)

Passo 2

Primeiro extraímos a função densidade de RTD E(t)\) a partir da curva triangular de altura máxima \(1\)\,\(\mathrm{mg/dm}^3\) em \(t=1\)\,\(\min\) e zero em \(t=0\) e \(t=2\)\,\(\min\). A área total sob a curva é \[\int_{0}^{2}C^*(t)\,dt =\tfrac12\cdot2\cdot1=1\quad(\mathrm{mg\cdot min/dm}^3),
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E(t)= \begin{cases} t,&0\le t\le1,\\\\ 2-t,&1\le t\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
pois (E(t)=C^*(t)/1]. O tempo médio de residência é
\tau=\int_{0}^{2}t\,E(t)\,dt =\int_{0}^{1}t^2\,dt+\int_{1}^{2}t(2-t)\,dt =\tfrac13+\bigl[2\cdot\tfrac{2^2-1^2}{2}-\tfrac{2^3-1^3}{3}\bigr] =1\\ \min.

Passo 3

No modelo de segregação cada elemento de fluido se comporta como batelada de duração t, cuja conversão é
X_{\mathrm{bat}}(t) =1-\frac{C_A(t)}{C_{A0}} =1-\frac{1}{1+k\,C_{A0}\,t} =\frac{k\,C_{A0}\,t}{1+k\,C_{A0}\,t}.
Aqui k\,C_{A0}=0{,}5\cdot2=1, então
X_{\mathrm{bat}}(t)=\frac{t}{1+t}.
A conversão média é
X_{\mathrm{seg}} =\int_{0}^{2}E(t)\,\frac{t}{1+t}\,dt =\int_{0}^{1}\frac{t^2}{1+t}\,dt +\int_{1}^{2}\frac{(2-t)\,t}{1+t}\,dt.
Calculando cada termo dá
\int_{0}^{1}\frac{t^2}{1+t}\,dt =\ln2-\tfrac12, \quad \int_{1}^{2}\frac{(2-t)\,t}{1+t}\,dt =1{,}5-3\ln3+3\ln2,
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X_{\mathrm{seg}} =1+4\ln2-3\ln3\approx0{,}477.

Passo 4

No modelo de mistura máxima (mistura completa) o reator se comporta como um CSTR ideal de tempo médio \tau. O balanço em regime estacionário para A é
F\bigl(C_{A0}-C_{A}\bigr)=V\,k\,C_{A}^2,
com \tau=V/F=1, \min. Logo
C_{A0}-C_{A} =\tau\,k\,C_{A}^2 \;\Longrightarrow\; 2-C_{A} =0{,}5\;C_{A}^2,
que conduz à raiz física
C_{A} =\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot0{,}5\cdot2}}{2\cdot0{,}5} \approx1{,}236\\ \mathrm{mol/dm}^3.
A conversão é
X_{\mathrm{mix}} =1-\frac{C_{A}}{C_{A0}} =1-\frac{1{,}236}{2} \approx0{,}382.

Resposta

Xseg (modelo de segregação) \approx 0,477 (47,7%)
Xmix (modelo de mistura máxima) \approx 0,382 (38,2%)

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