A reação do peróxido de benzoíla para éter dietílico é uma reação de primeira ordem e irreversível. Sabe-se que em 10 minutos ocorre uma conversão de 75,2 \% do peróxido de benzoíla a 333 K e deseja-se saber:
a) Qual a conversão em 1 hora
b) O tempo de meia-vida desta reação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
Informações fornecidas:
  • A reação é de ordem um e irreversível.
  • Em 10 minutos ocorre uma conversão de 75{,}2\% do peróxido de benzoíla a 333\\ \text{K}. Ou seja, para t=10\\ \text{min} tem-se X=0{,}752.
Perguntas do enunciado:
a) Qual a conversão em 1 hora?
b) Qual o tempo de meia-vida desta reação?

Passo 2

Definição útil e relação entre concentração e conversão (é importante entender isso antes de aplicar a lei cinética).
Se C_{A0} é a concentração inicial do reagente A (peróxido de benzoíla) e C_A(t) é a concentração em tempo t, a conversão X(t) é definida por
X(t)=\frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}}.
Rearranjando, obtemos a relação
C_A(t)=C_{A0}\bigl(1-X(t)\bigr).
Explicação intuitiva: X é a fração reagida; se X=0{,}5, metade reagiu e C_A=C_{A0}/2.

Passo 3

Lei cinética de ordem um e sua integração (passo essencial que vem direto da definição de reação de primeira ordem).
A equação diferencial para reação de primeira ordem é
\frac{dC_A}{dt}=-k\,C_A,
onde k é a constante de velocidade (unidade de k será \text{min}^{-1} se t for em minutos).
Integramos separando variáveis:
\frac{dC_A}{C_A}=-k\,dt.
Integrando de t=0 (onde C_A=C_{A0}) até tempo t (onde C_A=C_A(t)):
\int_{C_{A0}}^{C_A(t)}\frac{dC_A}{C_A}=-\int_{0}^{t}k\,dt.
Isso dá a forma integrada (fórmula muito usada em provas):
\ln\!\left(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\right)=-k\,t.
Substituindo C_A(t)=C_{A0}(1-X(t)) obtemos a forma prática em termos de conversão:
\ln\!\bigl(1-X(t)\bigr)=-k\,t.
Dica de prova: essa última equação é a que você normalmente usa quando trabalha com conversões em reações de 1ª ordem — sempre mantenha as unidades de tempo consistentes (minutos com k em \text{min}^{-1}, horas com k em \text{h}^{-1}, etc.).

Passo 4

Determinar a constante de velocidade k usando o dado experimental dado ( X=0{,}752 em t=10\\ \text{min}).
Aplique a equação integrada:
\ln\!\bigl(1-X\bigr)=-k\,t.
Com X=0{,}752 e t=10\\ \text{min} temos
1-X=1-0{,}752=0{,}248.
Logo
\ln(0{,}248)=-k\cdot 10.
Calculando o logaritmo natural:
\ln(0{,}248)\approx -1{,}3929,
então
-k\cdot 10\approx -1{,}3929 \quad\Rightarrow\quad k\approx\frac{1{,}3929}{10}=0{,}1393\\ \text{min}^{-1}.
Interpretação: k\approx 0{,}1393\\ \text{min}^{-1}. Guarde bem esse valor para as próximas contas.

Passo 5

Calcular a conversão após 1 hora ( 1\\ \text{h}=60\\ \text{min}) usando k encontrado.
Usamos novamente
\ln\!\bigl(1-X(t)\bigr)=-k\,t.
Com t=60\\ \text{min} e k=0{,}1393\\ \text{min}^{-1}:
\ln\!\bigl(1-X(60)\bigr)=-0{,}1393\cdot 60=-8{,}358.
Aplicando exponencial:
1-X(60)=\exp(-8{,}358)\approx 0{,}000233.
Portanto
X(60)=1-0{,}000233=0{,}999767.
Em porcentagem:
X(60)\times 100\% \approx 99{,}9767\%\approx 99{,}98\%.
Comentário prático: a reação é bem rápida (constante k alta), então em uma hora a conversão é praticamente total.

Passo 6

Calcular o tempo de meia-vida t_{1/2} para reação de primeira ordem.
Para primeira ordem, o tempo de meia-vida é independente da concentração inicial e dado por
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Substituindo k=0{,}1393\\ \text{min}^{-1}:
t_{1/2}=\frac{0{,}693147}{0{,}1393}\approx 4{,}976\\ \text{min}\approx 4{,}98\\ \text{min}.
Interpretação útil: a cada 4{,}98\\ \text{min} a concentração do reagente é reduzida à metade.

Passo 7

Resumo rápido de como resolver esse tipo de questão na prova (truques e checagens):
  • Sempre anote se a ordem é 1ª; isso já sugere usar \ln(1-X)=-kt.
  • Mantenha unidades de tempo consistentes (use minutos aqui, já que o dado foi em minutos).
  • Se pedirem porcentagem, multiplique a fração por 100\%.
  • Verifique a magnitude de k e do t_{1/2} para ver se a resposta faz sentido fisicamente (aqui t_{1/2} pequeno explica a conversão quase total em 1 h).

Resposta

a) X(1\\ \text{h}) \approx 99{,}98\%
b) t_{1/2} \approx 4{,}98\\ \text{min}

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