13 - (3.10 Levenspiel) O componente A reage, em fase aquosa, para formar \mathrm{R}(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{R}) em um reator descontínuo; no primeiro minuto, sua concentração cai de \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=2,03 \mathrm{mols} / \mathrm{L} para \mathrm{C}_{\mathrm{Af}}=1,97 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Encontre a equação de taxa para a reação, se a cinética for de segunda ordem em relação ao componente A.

Passo 1

O enunciado dá uma reação A \rightarrow R em um reator descontínuo e pede para “encontrar a equação de taxa” supondo cinética de segunda ordem em relação a A. Dados fornecidos:
C_{A0}=2,03\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}
C_{Af}=1,97\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}
Esses valores correspondem à concentração no instante inicial t=0 e após t=1\\ \mathrm{min} (o enunciado diz “no primeiro minuto”, então t=1\\ \mathrm{min}). A pergunta implícita: determinar a equação de taxa com o valor da constante de velocidade k obtida a partir desses dados.

Passo 2

Escrevendo a forma geral da lei de velocidade para segunda ordem em A. Como a reação é de segunda ordem em A, a taxa de consumo de A tem a forma:
-r_A = k\,C_A^2
Expliquei as notações:
\;r_A é a velocidade de reação (consumo de A); \;C_A é a concentração de A em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}; \;k é a constante de velocidade, cuja unidade será ajustada mais adiante.

Passo 3

Relacionando a lei de velocidade com a variação temporal em um reator descontínuo (batelada). Para um reator descontínuo sem fluxo, a equação de balanço para A é:
\frac{dC_A}{dt} = -r_A.
Substituindo a lei da Passo 2 obtemos a equação diferencial:
\frac{dC_A}{dt} = -k\,C_A^2.
Aqui estamos dizendo que a variação de C_A no tempo é dada pelo termo do lado direito; agora vamos separar variáveis para integrar.

Passo 4

Separação de variáveis e integração (explico cada passo). Reescrevendo:
\frac{dC_A}{C_A^2} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados, com limites de concentração de C_{A0} (em t=0) até C_A (em tempo t):
\int_{C_{A0}}^{C_A} \frac{dC_A}{C_A^2} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é simples: \int C_A^{-2} dC_A = -C_A^{-1}. Avaliando os limites:
\big[-C_A^{-1}\big]_{C_{A0}}^{C_A} = -k\,t.
Isso dá
\left(-\frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_{A0}}\right) = -k\,t.
Multiplicando por -1 obtemos a forma integrada conveniente:
\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = k\,t.
Essa é a equação integrada clássica para cinética de segunda ordem com apenas A.

Passo 5

Usando a forma integrada para obter k. Tomamos t=1\\ \mathrm{min}, C_A=C_{Af}=1,97\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1} e C_{A0}=2,03\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}. Substituindo na expressão:
k = \frac{1}{t}\left(\frac{1}{C_A}-\frac{1}{C_{A0}}\right).
Agora calculamos os recíprocos (mostro os valores aproximados com algumas casas decimais):
\frac{1}{C_A}=\frac{1}{1,97}\approx 0,507614\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
\frac{1}{C_{A0}}=\frac{1}{2,03}\approx 0,492611\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
A diferença é
\frac{1}{C_A}-\frac{1}{C_{A0}}\approx 0,507614-0,492611=0,015003\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Como t=1\\ \mathrm{min}, temos
k \approx 0,015003\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos:
k \approx 0,0150\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}.

Passo 6

Interpretação e checagem de unidades. Para segunda ordem em A, a unidade de k deve ser \mathrm{concentração}^{-1}\times\mathrm{tempo}^{-1}çã, isto é, \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1} no sistema usado aqui — confirmação consistente com o valor calculado. A equação de taxa final fica com k numérico, podendo ser usada para prever C_A(t) via a relação integrada.

Resposta

-r_A = k\,C_A^2 com k = 0,0150\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}

Exercícios relacionados