13 - (3.10 Levenspiel) O componente A reage, em fase aquosa, para formar
em um reator descontínuo; no primeiro minuto, sua concentração cai de
para
. Encontre a equação de taxa para a reação, se a cinética for de segunda ordem em relação ao componente A.
Passo 1
O enunciado dá uma reação
em um reator descontínuo e pede para “encontrar a equação de taxa” supondo cinética de segunda ordem em relação a
. Dados fornecidos:
Esses valores correspondem à concentração no instante inicial
e após
(o enunciado diz “no primeiro minuto”, então
). A pergunta implícita: determinar a equação de taxa com o valor da constante de velocidade
obtida a partir desses dados.
Passo 2
Escrevendo a forma geral da lei de velocidade para segunda ordem em
. Como a reação é de segunda ordem em
, a taxa de consumo de
tem a forma:
Expliquei as notações:
é a velocidade de reação (consumo de
);
é a concentração de
em
;
é a constante de velocidade, cuja unidade será ajustada mais adiante.
Passo 3
Relacionando a lei de velocidade com a variação temporal em um reator descontínuo (batelada). Para um reator descontínuo sem fluxo, a equação de balanço para
é:
Substituindo a lei da Passo 2 obtemos a equação diferencial:
Aqui estamos dizendo que a variação de
no tempo é dada pelo termo do lado direito; agora vamos separar variáveis para integrar.
Passo 4
Separação de variáveis e integração (explico cada passo). Reescrevendo:
Integramos ambos os lados, com limites de concentração de
(em
) até
(em tempo
):
A integral do lado esquerdo é simples:
. Avaliando os limites:
Isso dá
Multiplicando por
obtemos a forma integrada conveniente:
Essa é a equação integrada clássica para cinética de segunda ordem com apenas
.
Passo 5
Usando a forma integrada para obter
. Tomamos
,
e
. Substituindo na expressão:
Agora calculamos os recíprocos (mostro os valores aproximados com algumas casas decimais):
A diferença é
Como
, temos
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Interpretação e checagem de unidades. Para segunda ordem em
, a unidade de
deve ser
, isto é,
no sistema usado aqui — confirmação consistente com o valor calculado. A equação de taxa final fica com
numérico, podendo ser usada para prever
via a relação integrada.