Encontre a série de potências das funções em torno dos pontos dados:
g(t)=arctg t, t0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função $ g(t) = \arctan(t) $ em torno do ponto $ t_0 = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que nos permitem representar funções como somas infinitas de potências de $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma expressão da forma:
sumn=0^infty an (t - t0)^n
No nosso caso, $ t_0 = 0 $, então a série simplifica para:
t0 = 0
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ a_n $ para representar $ \arctan(t) $.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes $ a_n $, vamos usar a fórmula da série de Taylor:
an
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ g(t) $ de ordem $ n $ avaliadas em $ t_0 = 0 $.

Passo 4

Calculando a primeira derivada de $ g(t) = \arctan(t) $:
g(t) = arctan(t)
Avaliada em $ t = 0 $:
g'(t) = 11 + t^2
Então, $ a_1 = 1 $.

Passo 5

Calculando a segunda derivada:
g''(t) = ddt( 11 + t^2 ) = -2t(1 + t^2)^2
Avaliada em $ t = 0 $:
t = 0
Então, $ a_2 = 0 $.

Passo 6

Calculando a terceira derivada:
g'''(t) = ddt( -2t(1 + t^2)^2 ) = -2(1 + t^2)^2 + 8t^2(1 + t^2)(1 + t^2)^4 = -2 + 6t^2(1 + t^2)^3
Avaliada em $ t = 0 $:
t = 0
Então, $ a_3 = \frac{-2}{3!} = -\frac{1}{3} $.

Passo 7

Percebemos que as derivadas ímpares estão contribuindo para os coeficientes, enquanto as pares são zero. Seguindo esse padrão, podemos generalizar a série:
arctan(t) = t - t^33 + t^55 - t^77 + cdots

Resposta

A série de potências de $ \arctan(t) $ em torno de $ t_0 = 0 $ é:
arctan(t)

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