Encontre a série de potências das funções em torno dos pontos dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função $ g(t) = \arctan(t) $ em torno do ponto $ t_0 = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que nos permitem representar funções como somas infinitas de potências de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma expressão da forma:
No nosso caso, $ t_0 = 0 $, então a série simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ a_n $ para representar $ \arctan(t) $.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes $ a_n $, vamos usar a fórmula da série de Taylor:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ g(t) $ de ordem $ n $ avaliadas em $ t_0 = 0 $.
Passo 4
Calculando a primeira derivada de $ g(t) = \arctan(t) $:
Avaliada em $ t = 0 $:
Então, $ a_1 = 1 $.
Passo 5
Calculando a segunda derivada:
Avaliada em $ t = 0 $:
Então, $ a_2 = 0 $.
Passo 6
Calculando a terceira derivada:
Avaliada em $ t = 0 $:
Então, $ a_3 = \frac{-2}{3!} = -\frac{1}{3} $.
Passo 7
Percebemos que as derivadas ímpares estão contribuindo para os coeficientes, enquanto as pares são zero. Seguindo esse padrão, podemos generalizar a série:
Resposta
A série de potências de $ \arctan(t) $ em torno de $ t_0 = 0 $ é: