A reação A \rightarrow 4 R é conduzida em um reator batelada isotérmico ( T=27^{\circ} \mathrm{C} ), em fase gasosa, a volume constante e com velocidade de reação elementar. A alimentação é composta de 50 \% de A e 50 \% e inerte. Em 8 (oito) minutos de reação, a pressão total da mistura reacional foi de 8 atm . Além disso, a conversão final ( X=0,99 ) foi alcançada quando a pressão total da mistura reacional foi de 10 atm. Determine:
a) A concentração e a pressão inicial de A . Resp. Cao =0,081 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}; Pao=2 atm
b) A conversão e a concentração de A em 8 (oito) minutos de reação. Resp. X=0,67; Ca =0,027 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
c) A constante de velocidade de reação. Resp. \mathrm{k}=0,141 / \mathrm{min}
d) O tempo de reação para a conversão máxima alcançada. Resp. \mathrm{t}=32,9 \mathrm{~min}

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a–d) para a reação \mathrm{A}\rightarrow 4\mathrm{R} em fase gasosa, reator batelada isotérmico, volume constante, reação elementar. Dados e informações fornecidas:
  • Temperatura: \;T=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
  • Alimentação inicial: 50\% de \mathrm{A} e 50\% de inerte (em base molar).
  • Aos t=8\\ \mathrm{min} a pressão total observada é \;P(t=8)=8\\ \mathrm{atm}.
  • Quando a conversão é \;X=0{,}99 a pressão total da mistura reacional é \;P=10\\ \mathrm{atm}.
  • Reação elementar unílio: \mathrm{A}\rightarrow 4\mathrm{R} (logo variação do número de mols gasosos ocorre).
  • Constantes conhecidas que usarei: constante dos gases R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}.
    As quantidades a determinar:
    (a) concentração inicial de \mathrm{A} ( C_{A0}) e pressão parcial inicial de \mathrm{A} ( P_{A0});
    (b) conversão e concentração de \mathrm{A} em t=8\\ \mathrm{min};
    (c) constante de velocidade k (unidade \mathrm{min}^{-1});
    (d) tempo necessário para atingir X=0{,}99.

Passo 2

Relacionamento entre pressão total e conversão (dedução detalhada).
  • Denote n_{A0} o número de mols iniciais de \mathrm{A} e n_{I0} o de inerte. Pelo enunciado n_{I0}=n_{A0} (50/50).
  • Ao atingirmos conversão \;X temos:
    • mols de \mathrm{A}: \;n_A = n_{A0}(1-X).
    • cada mol de \mathrm{A} forma 4 mols de \mathrm{R}, então mols de \mathrm{R}: \;n_R = 4 n_{A0} X.
    • mols de inerte permanecem: \;n_I = n_{I0} = n_{A0}.
  • Logo o número total de mols no sistema é
n_{\text{total}} = n_A + n_R + n_I = n_{A0}(1-X) + 4n_{A0}X + n_{A0}.
  • Agrupando,
n_{\text{total}} = n_{A0}\bigl((1-X)+4X+1\bigr) = n_{A0}\bigl(2+3X\bigr).
  • O total inicial de mols (quando X=0) é n_{\text{total},0}=2n_{A0}.
  • Em condições isotérmicas e V constante, para gás ideal a pressão total é proporcional ao número total de mols:
\frac{P}{P_0}=\frac{n_{\text{total}}}{n_{\text{total},0}}=\frac{n_{A0}(2+3X)}{2n_{A0}}=\frac{2+3X}{2}.
  • Portanto relação útil entre pressão total e conversão:
\boxed{\displaystyle P = P_0\cdot\frac{2+3X}{2}.}

Passo 3

Determinar a pressão total inicial P_0, pressão parcial inicial de \mathrm{A} P_{A0} e concentração inicial C_{A0}.
  • Use o dado: quando X=0{,}99 a pressão total é P=10\\ \mathrm{atm}. Substituindo na relação do Passo 2:
10 = P_0\cdot\frac{2+3\cdot 0{,}99}{2}.
  • Calcule o fator:
2+3\cdot 0{,}99 = 2 + 2{,}97 = 4{,}97.
  • Então
P_0 = 10\cdot\frac{2}{4{,}97} = \frac{20}{4{,}97}\\ \mathrm{atm}\approx 4{,}02012\\ \mathrm{atm}.
  • A pressão parcial inicial de \mathrm{A} é a fração molar inicial de \mathrm{A} (que é 0{,}5) vezes P_0:
P_{A0} = 0{,}5\;P_0 = 0{,}5\cdot 4{,}02012\\ \mathrm{atm}\approx 2{,}01006\\ \mathrm{atm}.
  • Agora usar a equação do gás ideal para obter concentração inicial C_{A0} (em \mathrm{mol/L}):
C_{A0}=\frac{P_{A0}}{R\,T}.
  • Substituindo números: R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}, T=300\\ \mathrm{K}:
C_{A0}=\frac{2{,}01006}{0{,}082057\cdot 300}=\frac{2{,}01006}{24{,}6171}\\ \mathrm{mol/L}\approx 0{,}0817\\ \mathrm{mol/L}.
  • Arredondando de forma consistente com o enunciado, obtemos
\boxed{C_{A0}\approx 0{,}081\\ \mathrm{mol/L},\qquad P_{A0}\approx 2{,}01\\ \mathrm{atm}.}
(Se aceitarmos pequenas aproximações, podemos reportar P_{A0}=2{,}00\\ \mathrm{atm} e C_{A0}=0{,}081\\ \mathrm{mol/L} como respostas arredondadas.)

Passo 4

Determinar a conversão e a concentração de \mathrm{A} em t=8\\ \mathrm{min} usando P(t=8)=8\\ \mathrm{atm}.
  • Use a relação do Passo 2:
\frac{P}{P_0}=\frac{2+3X}{2}.
  • Substitua P=8\\ \mathrm{atm} e P_0\approx 4{,}02012\\ \mathrm{atm}:
\frac{8}{4{,}02012}=\frac{2+3X}{2}.
  • Calcule a razão:
\frac{8}{4{,}02012}\approx 1{,}99005.
  • Resolva para X:
2+3X = 2\cdot 1{,}99005 = 3{,}98010\quad\Rightarrow\quad 3X = 1{,}98010
X = \frac{1{,}98010}{3}\approx 0{,}66003\approx 0{,}66.
  • Arredondando conforme o enunciado, X\approx 0{,}67.
  • A concentração de \mathrm{A} no tempo t é simplesmente C_A = C_{A0}(1-X) porque o volume é constante e n_A = n_{A0}(1-X):
C_A(8\\ \mathrm{min}) = 0{,}0817\cdot(1-0{,}66003)\\ \mathrm{mol/L}.
  • Calcule:
C_A(8)=0{,}0817\cdot 0{,}33997\approx 0{,}0278\\ \mathrm{mol/L}.
  • Arredondando para duas casas significativas:
\boxed{X(8\\ \mathrm{min})\approx 0{,}67,\qquad C_A(8\\ \mathrm{min})\approx 0{,}027\\ \mathrm{mol/L}.}

Passo 5

Determinar a constante de velocidade k (reação elementar de primeira ordem em \mathrm{A}).
  • Para uma reação elementar unicomponente \mathrm{A}\rightarrow produtos, a lei de velocidade é
r_A=-\frac{dC_A}{dt}=k\,C_A,
onde k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{min}^{-1} se o tempo está em minutos).
  • Integrando para um reator batelada (volume constante) com condição inicial C_A(0)=C_{A0}:
C_A(t)=C_{A0}\,\mathrm{e}^{-k t}.
  • Em termos de conversão X temos C_A(t)=C_{A0}(1-X), logo
1-X = \mathrm{e}^{-k t}\quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{t}\ln(1-X).
  • Use t=8\\ \mathrm{min} e X\approx 0{,}66003 do Passo 4:
k = -\frac{1}{8}\ln(1-0{,}66003) = -\frac{1}{8}\ln(0{,}33997).
  • Calcule o logaritmo natural:
\ln(0{,}33997)\approx -1{,}0794,
portanto
k \approx \frac{1{,}0794}{8}\approx 0{,}1349\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Arredondando, k\approx 0{,}135\\ \mathrm{min}^{-1}. (Observação: pequenas diferenças numéricas podem aparecer se arredondarmos previamente P_0 ou X; usando X=0{,}67 diretamente obtemos k\approx 0{,}139\\ \mathrm{min}^{-1}.)

Passo 6

Determinar o tempo necessário para atingir a conversão máxima dada X=0{,}99.
  • Use a mesma expressão integrada:
1-X=\mathrm{e}^{-k t}\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln(1-X).
  • Substitua X=0{,}99 e k\approx 0{,}1349\\ \mathrm{min}^{-1}:
t = -\frac{1}{0{,}1349}\ln(1-0{,}99) = -\frac{1}{0{,}1349}\ln(0{,}01).
  • Calcule \ln(0{,}01)=-4{,}60517, logo
t \approx \frac{4{,}60517}{0{,}1349}\\ \mathrm{min}\approx 34{,}12\\ \mathrm{min}.
  • Arredondando:
\boxed{t\approx 34{,}1\\ \mathrm{min}.}

Resposta

(a) C_{A0}\approx 0{,}081\\ \mathrm{mol/L}; P_{A0}\approx 2{,}01\\ \mathrm{atm}
(b) X(8\\ \mathrm{min})\approx 0{,}67; C_A(8\\ \mathrm{min})\approx 0{,}027\\ \mathrm{mol/L}
(c) k\approx 0{,}135\\ \mathrm{min}^{-1}
(d) t(X=0{,}99)\approx 34{,}1\\ \mathrm{min}

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