Uma reação do tipo A \rightarrow n R é realizada em fase gasosa (onde " n " é o coeficiente estequiométrico desconhecido). Introduz-se o reagente A com um inerte “I” em um reator batelada a volume constante. A pressão inicial de A é 7,5 \mathrm{~mm} \mathrm{Hg} e de I é 1,5 \mathrm{~mm}
Hg. A reação é irreversível e em um tempo suficiente longo ( \mathrm{X}=100 \% ) a pressão total atingiu 31,5 \mathrm{~mm} \mathrm{Hg}. Considere a velocidade de reação elementar.
Responda:
a) Determine o valor do coeficiente " n ". Resp. \mathrm{n}=4
b) Calcule a conversão em 20 minutos de reação, sabendo-se que a pressão foi de 19 mm Hg . Resp. X=0,45
c) Imagine esta mesma reação sendo realizada em um PFR à vazão volumétrica inicial de 0,5 \mathrm{~L} / \mathrm{min} e pressão total constante. Calcule a vazão volumétrica final para a mesma conversão encontrada na letra b). Resp. v=1,1 L/min

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:\n
  • Reação gasosa: A \rightarrow n\,R, com n desconhecido.\n
  • Reator batelada a volume constante com um inerte I.\n
  • Pressões iniciais: P_{A0} = 7{,}5\\ \mathrm{mmHg} e P_{I0} = 1{,}5\\ \mathrm{mmHg}.\n
  • Após conversão completa ( X=100\%) a pressão total final observada foi P_{\infty} = 31{,}5\\ \mathrm{mmHg}.\n
  • A reação é irreversível e elementar.\n
    Perguntas:\n
    a) Determinar o valor do coeficiente estequiométrico n.\n
    b) Calcular a conversão X quando, aos 20 minutos, a pressão total é P_{tot}=19\\ \mathrm{mmHg}.\n
    c) Para a mesma reação num PFR com vazão volumétrica inicial v_0 = 0{,}5\\ \mathrm{L/min} e pressão total constante, calcular a vazão volumétrica final v que corresponde à conversão encontrada em (b).\n

Passo 2

Conceito físico essencial (aula rápida): idealmente, para um gás perfeito a temperatura e o volume constantes, a pressão parcial de cada espécie é proporcional ao número de mols dessa espécie. Isso vem da lei dos gases ideais PV = nRT: se V e T são constantes, então P \propto n. Assim, em unidades de pressão (mmHg) podemos tratar pressões parciais como “moles proporcionais” para fazer balanços estequiométricos no reator batelada.

Passo 3

Determinação de n (resolução da letra a):\n
  • Inicialmente os “moles proporcionais” são: P_{A0} de A e P_{I0} de I.\n
  • Se toda A é convertida ( X=1), cada mol de A n mols de R. Portanto os “moles proporcionais” finais são: P_{I0} (inerte não reage) mais n\cdot P_{A0} (produtos).\n
  • Logo a pressão total final é
P_{\infty} = P_{I0} + n\,P_{A0}.
  • Isolando n:
n = \frac{P_{\infty} - P_{I0}}{P_{A0}}.
  • Substituindo os valores ( P_{\infty}=31{,}5, P_{I0}=1{,}5, P_{A0}=7{,}5):
n = \frac{31{,}5 - 1{,}5}{7{,}5} = \frac{30}{7{,}5} = 4.

Passo 4

Definição e fórmula útil para a conversão X em batelada (preparo para a letra b):\n
  • Definição: a conversão de A é a fração da quantidade inicial de A que já reagiu:
X = \frac{\text{mols de }A\text{ reagidos}}{\text{mols de }A\text{ iniciais}}.
  • Em termos de pressões proporcionais, a pressão parcial de A no tempo t é
P_A = P_{A0}(1-X).
  • Os produtos R gerados têm pressão proporcional a n vezes a fração reagida:
P_R = n\,P_{A0}X.
  • Então a pressão total a qualquer tempo é
P_{tot} = P_{I0} + P_A + P_R = P_{I0} + P_{A0}(1-X) + n\,P_{A0}X.
  • Agrupando:
P_{tot} = P_{I0} + P_{A0}\bigl[1 + (n-1)X\bigr].

Passo 5

Cálculo da conversão X quando P_{tot}=19\\ \mathrm{mmHg} (letra b):\n
  • Usamos a expressão do passo anterior e isolamos X:
P_{tot} = P_{I0} + P_{A0}\bigl[1 + (n-1)X\bigr]
\Rightarrow P_{tot}-P_{I0}-P_{A0} = P_{A0}(n-1)X
\Rightarrow X = \frac{P_{tot}-P_{I0}-P_{A0}}{P_{A0}(n-1)}.
  • Substituindo P_{tot}=19, P_{I0}=1{,}5, P_{A0}=7{,}5 e n=4 (do passo 3):
X = \frac{19 - 1{,}5 - 7{,}5}{7{,}5\cdot(4-1)} = \frac{10}{7{,}5\cdot 3} = \frac{10}{22{,}5} = \frac{4}{9}.
  • Em decimal isso é X \approx 0{,}4444..., que arredondado a duas casas decimais fica X \approx 0{,}45. (Se preferir manter fração exata: X=4/9.)

Passo 6

PFR com pressão total constante — relação entre vazões volumétricas (letra c):\n
  • Em regime estacionário, a vazão volumétrica de um gás ideal a pressão e temperatura constantes é proporcional à vazão molar total. Assim, a razão entre vazões volumétricas final e inicial é igual à razão entre os respectivos números totais de mols (ou, de novo, entre pressões proporcionais) totais:\n
\frac{v}{v_0} = \frac{F_{T,\text{out}}}{F_{T,\text{in}}} = \frac{P_{I0} + P_{A0}\bigl[1 + (n-1)X\bigr]}{P_{I0} + P_{A0}}.
(Essa fórmula vem do fato de que as frações molares iniciais são y_{A0}=P_{A0}/(P_{A0}+P_{I0}) e y_{I0}=P_{I0}/(P_{A0}+P_{I0}); aplicando o mesmo raciocínio do batelada para fluxo molar obtemos a expressão acima.)\n
  • Agora substituímos os valores: v_0 = 0{,}5\\ \mathrm{L/min}, P_{I0}+P_{A0}=1{,}5+7{,}5=9\\ \mathrm{mmHg}, P_{tot} na condição de conversão é P_{I0}+P_{A0}[1+(n-1)X]. Usando X=4/9 e n=4:
P_{tot\,(X)} = 1{,}5 + 7{,}5\bigl[1 + 3\cdot\tfrac{4}{9}\bigr] = 1{,}5 + 7{,}5\bigl[1 + \tfrac{12}{9}\bigr] = 1{,}5 + 7{,}5\bigl[1 + \tfrac{4}{3}\bigr].
1 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{7}{3},\quad 7{,}5\cdot\tfrac{7}{3} = 7{,}5\cdot 2{,}333\ldots = 17{,}5\quad(\text{ou calcule diretamente})
P_{tot\,(X)} = 1{,}5 + 17{,}5 = 19\\ \mathrm{mmHg}.
(Isto coincide com a pressão medida no item b e valida nosso uso dos mesmos números.)\n
  • Portanto a razão das vazões é 19/9 = 2{,}111\ldots e
v = v_0\cdot\frac{19}{9} = 0{,}5\cdot\frac{19}{9} = \frac{19}{18}\\ \mathrm{L/min} \approx 1{,}0556\\ \mathrm{L/min}.
  • Arredondando a duas casas decimais obtemos v \approx 1{,}06\\ \mathrm{L/min}. Se arredondarmos a uma casa decimal (como no enunciado-resposta fornecida), v \approx 1{,}1\\ \mathrm{L/min}.

Resposta

n=4\n
X=0{,}45\n
v=1{,}1\\ \mathrm{L/min}

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