calcular a integral indefinida.
\int(x+3)^{2} e^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+3)^{2} e^{3}\, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }(x+3)^{2} e^{3},\qquad \text{variável de integração: }x.áçã
Observação importante que já posso anotar sem resolver nada: e^{3} é uma constante (não depende de x). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Regra usada: a linearidade da integral — constantes podem ser tiradas para fora da integral. Em símbolos:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,\quad\text{para constante }c.
Aplicando aqui com c=e^{3}:
\int (x+3)^{2} e^{3}\,dx = e^{3}\int (x+3)^{2}\,dx.
Agora precisamos calcular \int (x+3)^{2}\,dx.

Passo 3

Método escolhido: substituição simples (mudança de variável). Vou tomar
u = x+3.
Então
du = dx
porque a derivada de x+3 em relação a x é 1. Com isso a integral fica mais simples:
\int (x+3)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du.
Explicação rápida da técnica: a substituição serve para transformar a expressão em x numa expressão em u mais fácil de integrar; sempre ajustamos dx em função de du.

Passo 4

Agora integramos \int u^{2}\,du. Regra de potência para integrais:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}.
Aqui n=2, então
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando para a variável x (substituindo u=x+3):
\int (x+3)^{2}\,dx = \frac{(x+3)^{3}}{3}+C.
Lembrando do fator e^{3} que tiramos para fora no Passo 2:
\int (x+3)^{2} e^{3}\,dx = e^{3}\cdot\frac{(x+3)^{3}}{3}+C = \frac{e^{3}}{3}(x+3)^{3}+C.

Passo 5

Verificação (boa prática): derivar o resultado deve retornar o integrando.
Calculemos a derivada de \frac{e^{3}}{3}(x+3)^{3}. Como \frac{e^{3}}{3} é constante,
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{3}}{3}(x+3)^{3}\right)=\frac{e^{3}}{3}\cdot 3(x+3)^{2}=e^{3}(x+3)^{2},
que é exatamente o integrando. Portanto a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{3}}{3}(x+3)^{3}+C

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