Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
portanto o denominador fatorado é
. O numerador é um polinômio de grau
e o denominador tem grau
, então a função racional é própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Passo 2
Método escolhido: decomposição em frações parciais. Explico por que: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, uma função racional própria pode ser escrita como soma de termos simples da forma
. Isso facilita porque a integral de
é
. Então propomos a identidade
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora vamos achar
,
e
avaliando em raízes convenientes do denominador.
Passo 4
Avaliações para obter os coeficientes:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Portanto os coeficientes são
,
,
.
Passo 5
Substituindo na decomposição temos
Agora integramos termo a termo. Lembrete importante: a fórmula básica é
porque a derivada de
é
. Usando isso,
Passo 6
Somando as partes e agrupando a constante de integração em uma só, obtemos a primitiva:
Opcionalmente, isso pode ser escrito como
, mas a forma com somas de logaritmos fica mais direta na prova.