\int \frac{-8 x}{\left(x^{2}-1\right)(x-3)} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{-8x}{\left(x^{2}-1\right)(x-3)}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
portanto o denominador fatorado é (x-1)(x+1)(x-3). O numerador é um polinômio de grau 1 e o denominador tem grau 3, então a função racional é própria (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Método escolhido: decomposição em frações parciais. Explico por que: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, uma função racional própria pode ser escrita como soma de termos simples da forma \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-3}. Isso facilita porque a integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|. Então propomos a identidade
\frac{-8x}{(x-1)(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x-3) para obter uma identidade polinomial:
-8x = A(x+1)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+1).
Agora vamos achar A, B e C avaliando em raízes convenientes do denominador.

Passo 4

Avaliações para obter os coeficientes:
  • Tomando x=1:
-8\cdot 1 = A(1+1)(1-3) \Rightarrow -8 = A\cdot 2\cdot(-2) = -4A \Rightarrow A=2.
  • Tomando x=-1:
-8\cdot(-1) = B(-1-1)(-1-3) \Rightarrow 8 = B\cdot(-2)\cdot(-4)=8B \Rightarrow B=1.
  • Tomando x=3:
-8\cdot 3 = C(3-1)(3+1) \Rightarrow -24 = C\cdot 2\cdot 4 = 8C \Rightarrow C=-3.
Portanto os coeficientes são A=2, B=1, C=-3.

Passo 5

Substituindo na decomposição temos
\frac{-8x}{(x-1)(x+1)(x-3)}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x-3}.
Agora integramos termo a termo. Lembrete importante: a fórmula básica é
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Usando isso,
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|+C_1,
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|+C_2,
\int -\frac{3}{x-3}\,dx = -3\ln|x-3|+C_3.

Passo 6

Somando as partes e agrupando a constante de integração em uma só, obtemos a primitiva:
2\ln|x-1|+\ln|x+1|-3\ln|x-3|+C.
Opcionalmente, isso pode ser escrito como \ln\!\left(\dfrac{(x-1)^{2}(x+1)}{(x-3)^{3}}\right)+C, mas a forma com somas de logaritmos fica mais direta na prova.

Resposta

2\ln|x-1|+\ln|x+1|-3\ln|x-3|+C

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