Uma reação de segunda ordem do tipo: A+2 B P (primeira ordem em cada reagente) foi conduzida em uma solução que, inicialmente, era 0,075 M em A e 0,080 M em B. Depois de 1,0 h, a concentração de A caiu para 0,045 M. Quais as meias-vidas de cada reagente?

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão: temos uma reação de segunda ordem
A + 2,B to P
que é “primeira ordem em cada reagente” (ou seja, taxa v = k,[A],[B]).
Condições iniciais: [A]0 = 0,075rm,M, [B]0 = 0,080rm,M. Após 1,0,h, [A] = 0,045rm,M.
O que a gente vai precisar:
- A lei de velocidade integrada para A+2Bto P (ou seja, integrar d[A]/dt=-k[A][B])
- Determinar a constante k usando os dados de t=1,0,h
- Definição de meia-vida: tempo para [A] (ou [B]) cair a metade do valor inicial
- Aplicar a expressão integrada pra calcular t1/2 de A e de B

Passo 2

Primeiro temos que achar k. Como a reação consome 1 mol de A para 2 mols de B, se x é o quanto [A] caiu, então
[A]=[A]0 - x, [B]=[B]0 - 2x,
No instante 1,h, x = 0,075 - 0,045 = 0,030,M, logo [B] = 0,080 - 2,(0,030) = 0,020,M.
Agora o truque da integração: defina C = 2[A]0 - [B]0 = 2cdot0,075 - 0,080 = 0,070,M.
Pode-se mostrar (usando frações parciais) que a lei integrada dá
ln!gl([B],[A]0[A],[B]0gr) = -,k,C,t,

Passo 3

Substituindo t=1,h, [A]=0,045, [B]=0,020, [A]0=0,075, [B]0=0,080 e C=0,070:
$$\ln!\frac{0{,}020\cdot0{,}075}{0{,}045\cdot0{,}080}
=\ln\frac{0{,}00150}{0{,}00360}=\ln(0{,}4167)=-0{,}8755,. ln!0,020cdot0,0750,045cdot0,080 =ln0,001500,00360=ln(0,4167)=-0,8755, k = -\frac{1}{C,t}\ln!\Bigl(\dots\Bigr)
= -\frac{1}{0{,}070\cdot1},(-0{,}8755)
= \frac{0{,}8755}{0{,}070}
\approx 12{,}51\ \rm M{-1}h{-1},. $$

Passo 4

Meia-vida de A ( t1/2(A)): é o tempo pra [A]=[A]0/2=0,0375,M.
Quando isso acontece, o consumo x = 0,075-0,0375 = 0,0375,M, então
[B] = 0,080 - 2,(0,0375) = 0,005rm,M
Usamos de novo
ln![B],[A]0[A],[B]0 = -,k,C,t1/2
ln0,005cdot0,0750,0375cdot0,080 = ln0,0003750,00300 = ln(0,125) = -2,079,
Então
t1/2(A) = -1k,C,(-2,079) = 2,07912,51cdot0,070 approx 2,38 rm h,

Passo 5

Meia-vida de B ( t1/2(B)): aqui [B]=[B]0/2=0,040,M.
Isso significa x = (0,080-0,040)/2 = 0,020,M, logo
[A] = 0,075 - 0,020 = 0,055rm,M
De novo na mesma fórmula:
$$\ln\frac{0{,}040\cdot0{,}075}{0{,}055\cdot0{,}080}
= \ln\frac{0{,}00300}{0{,}00440}
= \ln(0{,}6818) = -0{,}384. ln0,040cdot0,0750,055cdot0,080 = ln0,003000,00440 = ln(0,6818) = -0,384 t_{1/2}(B) = \frac{0{,}384}{12{,}51\cdot0{,}070}
\approx 0{,}44\ \rm h\ (\approx26,\min). $$

Resposta

t₁/₂(A) ≃ 2,38 h
t₁/₂(B) ≃ 0,44 h

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