Para x real considete
. O valor máximo possível de m é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 18
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 18
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Para x real considere
A gente precisa achar o maior valor possível de m.
Conteúdo: é função racional e otimização de extremos.
O que vamos usar: manipular a fração pra ver que maximizar m dá pra virar em minimizar um polinômio quadrático, e aí completar o quadrado pra achar o mínimo dele.
Conteúdo: é função racional e otimização de extremos.
O que vamos usar: manipular a fração pra ver que maximizar m dá pra virar em minimizar um polinômio quadrático, e aí completar o quadrado pra achar o mínimo dele.
Passo 2
Primeiro, repara que dá pra escrever
Saca? Sempre que você soma o mesmo polinômio em cima e embaixo, sobra um 1 extra lá em cima.
Passo 3
Como
é fixo, o que manda no valor de
é
Pra
ser grande, o denominador
tem que ser o menor possível. Como
é quadrática com coeficiente positivo em
, ela tem um mínimo (vértice).
Passo 4
Vamos completar o quadrado em
Fatorando o 3 de casa termo com
:
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Logo
Como
, fica
O menor valor de
é quando
, ou seja
Passo 5
Com isso, voltamos em
e no menor
temos
Resposta
O valor máximo possível de m é 5.