Para x real considete m=3 x^2+9 x+83 x^2+9 x+7. O valor máximo possível de m é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 18

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Para x real considere
m = 3x^2 + 9x + 83x^2 + 9x + 7
A gente precisa achar o maior valor possível de m.
Conteúdo: é função racional e otimização de extremos.
O que vamos usar: manipular a fração pra ver que maximizar m dá pra virar em minimizar um polinômio quadrático, e aí completar o quadrado pra achar o mínimo dele.

Passo 2

Primeiro, repara que dá pra escrever
m = 3x^2 + 9x + 83x^2 + 9x + 7 = (3x^2 + 9x + 7) + 13x^2 + 9x + 7 = 1 + 13x^2 + 9x + 7
Saca? Sempre que você soma o mesmo polinômio em cima e embaixo, sobra um 1 extra lá em cima.

Passo 3

Como 13x^2 + 9x + 7 é fixo, o que manda no valor de é
Pra ser grande, o denominador tem que ser o menor possível. Como é quadrática com coeficiente positivo em , ela tem um mínimo (vértice).

Passo 4

Vamos completar o quadrado em
D(x)=3x^2+9x+7
Fatorando o 3 de casa termo com D(x)=3l(x^2+3xr)+7 :
x^2+3x = l(x+tfrac32r)^2 - l(tfrac32r)^2 = l(x+tfrac32r)^2 - tfrac94
Completa o quadrado dentro do parênteses:
D(x) = 3l[l(x+tfrac32r)^2 - tfrac94r] + 7 = 3l(x+tfrac32r)^2 - tfrac274 + 7
Logo
D(x) = 3l(x+tfrac32r)^2 + tfrac284 - tfrac274 = 3l(x+tfrac32r)^2 + tfrac14
Como Dmin = tfrac14 , fica
O menor valor de é quando , ou seja

Passo 5

Com isso, voltamos em
m = 1 + 1D(x),
e no menor mmax = 1 + 1tfrac14 = 1 + 4 = 5 temos

Resposta

O valor máximo possível de m é 5.

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