Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
(0,8)^{4 x^{2}-x}>(0,8)^{3(x+1)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbf{R}, a inequação
(0,8)^{4x^{2}-x}>(0,8)^{3(x+1)}.
Informações e o que é pedido:
  • A base da exponencial é 0,8 (ou seja, 0{,}8), que é um número positivo menor que 1.
  • Deve-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.
  • Não há outras condições (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Entender como comparar potências com mesma base. Propriedade-chave:
  • Se a>1, a função t\mapsto a^{t} é crescente, então a^{u}>a^{v}\iff u>v.
  • Se 0<a<1, a função t\mapsto a^{t} é decrescente, então a^{u}>a^{v}\iff u<v.
Explicação rápida do porquê: a derivada é a^{t}\ln a. Quando 0<a<1 tem-se \ln a<0, logo a derivada é negativa e a função é decrescente — isso troca o sentido da desigualdade entre expoentes.
Como aqui a base é 0,8 com 0<0,8<1, podemos concluir que
(0,8)^{4x^{2}-x}>(0,8)^{3(x+1)}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}-x < 3(x+1).
Note o sentido da desigualdade trocado (maior virou menor) por causa da decrescência.

Passo 3

Passar a desigualdade para uma forma algébrica padrão. Desenvolvendo o lado direito:
3(x+1)=3x+3.
Então a inequação fica
4x^{2}-x < 3x+3.
Agrupando tudo no lado esquerdo para formar uma inequação quadrática:
4x^{2}-x-(3x+3)<0
4x^{2}-4x-3<0.

Passo 4

Resolver a inequação quadrática 4x^{2}-4x-3<0. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
4x^{2}-4x-3=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara ( x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}), onde para ax^{2}+bx+c aqui a=4, b=-4, c=-3. Calcular o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64.
Como \Delta=64, a raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=8. Assim as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm8}{2\cdot4}=\frac{4\pm8}{8}.
Isso dá as duas raízes
x_{1}=\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2},\qquad x_{2}=\frac{4+8}{8}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Determinar o sinal do polinômio p(x)=4x^{2}-4x-3. Como a=4>0, a parábola abre para cima, logo p(x)<0 exatamente para x entre as raízes. Portanto
4x^{2}-4x-3<0\quad\Longleftrightarrow\quad -\tfrac{1}{2}<x<\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação para ficar seguro: escolha x=0 (que está entre as raízes). Calcula-se os expoentes:
4\cdot0^{2}-0=0,\qquad 3(0+1)=3.
Como 0<3 e a base 0,8 é decrescente, tem-se (0,8)^{0}>(0,8)^{3}, ou seja 1>0{,}8^{3}, o que é verdadeiro — portanto x=0 satisfaz a inequação, consistente com o intervalo encontrado. Escolhendo x=2 (fora do intervalo) obteríamos expoente à esquerda maior do que o da direita e, pela decrescência, a desigualdade não seria satisfeita — coerente.
Força aí — essa é a resposta final, simples e direta quando se lembra que exponencial com base em (0,1) inverte desigualdades entre expoentes.

Resposta

\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right)

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