Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações e o que é pedido:
- A base da exponencial é
(ou seja, ), que é um número positivo menor que . - Deve-se encontrar todos os
que satisfazem a desigualdade acima. - Não há outras condições (domínio é todo
).
Passo 2
Entender como comparar potências com mesma base. Propriedade-chave:
- Se
, a função é crescente, então . - Se
, a função é decrescente, então .
Explicação rápida do porquê: a derivada é
. Quando
tem-se
, logo a derivada é negativa e a função é decrescente — isso troca o sentido da desigualdade entre expoentes.
Como aqui a base é
com
, podemos concluir que
Note o sentido da desigualdade trocado (maior virou menor) por causa da decrescência.
Passo 3
Passar a desigualdade para uma forma algébrica padrão. Desenvolvendo o lado direito:
Então a inequação fica
Agrupando tudo no lado esquerdo para formar uma inequação quadrática:
Passo 4
Resolver a inequação quadrática
. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
Usamos a fórmula de Bhaskara (
), onde para
aqui
,
,
. Calcular o discriminante:
Como
, a raiz quadrada é
. Assim as raízes são
Isso dá as duas raízes
Passo 5
Determinar o sinal do polinômio
. Como
, a parábola abre para cima, logo
exatamente para
entre as raízes. Portanto
Passo 6
Verificação rápida e interpretação para ficar seguro: escolha
(que está entre as raízes). Calcula-se os expoentes:
Como
e a base
é decrescente, tem-se
, ou seja
, o que é verdadeiro — portanto
satisfaz a inequação, consistente com o intervalo encontrado. Escolhendo
(fora do intervalo) obteríamos expoente à esquerda maior do que o da direita e, pela decrescência, a desigualdade não seria satisfeita — coerente.
Força aí — essa é a resposta final, simples e direta quando se lembra que exponencial com base em
inverte desigualdades entre expoentes.