1. A sozinho levaria 27 dias a mais para completar um trabalho do que se A e B tivessem trabalhado juntos. Se B tivesse trabalhado sozinho, ele levaria 3 dias a mais para completar o trabalho do que se A e B tivessem trabalhado juntos. Quanto tempo A e B juntos levariam para completar esse trabalho?
    a) 7 dias
    b) 9 dias
    c) 11 dias
    d) 8 dias

Passo 1

O enunciado pergunta quanto tempo A e B trabalhando juntos levariam para completar um trabalho, e dá duas informações relativas a tempos individuais comparados ao tempo juntos. As informações relevantes são:
  • Se A trabalhasse sozinho, ele levaria 27 dias a mais do que se A e B trabalhassem juntos.
  • Se B trabalhasse sozinho, ele levaria 3 dias a mais do que se A e B trabalhassem juntos.
    O que precisamos encontrar é: o tempo que A e B levam juntos para concluir o trabalho.

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado em variáveis e explicar o conceito de taxa de trabalho (essa é a ideia chave).
  • Defina t = tempo (em dias) que A e B juntos levam para completar o trabalho (é o que queremos).
  • Então o tempo que A sozinho leva é t+27 dias (peguei essa informação do enunciado).
  • O tempo que B sozinho leva é t+3 dias (peguei essa informação do enunciado).
Conceito de taxa de trabalho: se alguém leva d dias para fazer um trabalho inteiro, sua taxa é \tfrac{1}{d} trabalho por dia. Trabalhando juntos, as taxas somam. Ou seja, taxa de A + taxa de B = taxa conjunta.

Passo 3

Escrevendo a equação das taxas usando as variáveis definidas:
  • Taxa de A é \dfrac{1}{t+27}.
  • Taxa de B é \dfrac{1}{t+3}.
  • Taxa conjunta é \dfrac{1}{t}.
Portanto a relação é
\frac{1}{t+27}+\frac{1}{t+3}=\frac{1}{t}.

Passo 4

Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro somamos as frações à esquerda colocando no mesmo denominador:
\frac{1}{t+27}+\frac{1}{t+3}=\frac{(t+3)+(t+27)}{(t+27)(t+3)}=\frac{2t+30}{(t+27)(t+3)}.
Então a equação fica
\frac{2t+30}{(t+27)(t+3)}=\frac{1}{t}.

Passo 5

Multiplicamos em cruz para eliminar denominadores (lembrando que t\neq0, t\neq-3, t\neq-27, mas tempos negativos são descartados):
t(2t+30)=(t+27)(t+3).
Agora expandimos ambos os lados:
2t^2+30t = t^2+30t+81.

Passo 6

Subtraindo t^2+30t+81 dos dois lados:
2t^2+30t-(t^2+30t+81)=0 \quad\Rightarrow\quad t^2-81=0.
Isso é uma diferença de quadrados, fatorando:
(t-9)(t+9)=0.

Passo 7

As soluções da equação são t=9 ou t=-9. Tempo negativo não faz sentido no contexto, então descartamos t=-9. Resta
t=9.

Resposta

b) 9 dias

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