Quando a superfície é rotacionada, este retângulo diferencial origina um sólido cilíndrico infinitesimal (casca cilíndrica) com espessura d x e com eixo de simetria na reta x=-\alpha. Que função representa bem o raio deste sólido infinitesimal?

Passo 1

O enunciado dá um retângulo diferencial localizado em abscissa x (espessura d x) e diz que esse retângulo é girado em torno da reta vertical x=-\alpha, gerando uma casca cilíndrica infinitesimal. A pergunta é: qual função representa o raio desse cilindro (ou seja, a distância do retângulo até o eixo de rotação)?

Passo 2

Entender o que é “raio” aqui: para a casca cilíndrica, o raio é a distância horizontal entre a posição do retângulo (abscissa x) e a reta que é o eixo de simetria (abscissa -\alpha). No eixo x isso é simplesmente a distância entre dois pontos numa reta. Em termos gerais, a distância entre dois pontos com abscissas x e x_0 é |x-x_0|.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, com x_0=-\alpha, a distância (raio) é
\rho(x)=\bigl|x-(-\alpha)\bigr|=\bigl|x+\alpha\bigr|.
Portanto a função que dá o raio como função de x é \rho(x)=|x+\alpha|.

Passo 4

Explicando o valor absoluto e quando podemos simplificá‑lo: |x+\alpha| sempre é não negativo, o que faz sentido pois raio é positivo. Se durante a integração ou na região considerada fica garantido que x\ge -\alpha (isto é, todos os pontos estão à direita do eixo), então |x+\alpha|=x+\alpha e podemos usar diretamente \rho(x)=x+\alpha. Se a região estiver toda à esquerda do eixo ( x\le -\alpha), então |x+\alpha|=-(x+\alpha)=-x-\alpha.

Passo 5

Exemplos rápidos para criar intuição:
  • Se o eixo for x=0 (ou seja, \alpha=0), então \rho(x)=|x|; para regiões com x\ge0 isso vira \rho(x)=x.
  • Se o eixo for x=-2 (ou seja, \alpha=2) e a região tiver x\ge -2, então \rho(x)=x+2.
Dica para a prova: escreva sempre o raio como a distância absoluta |x+\alpha| e, ao montar a integral, verifique os limites de x para decidir se pode remover o valor absoluto.

Resposta

\rho(x)=|x+\alpha|

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