3^{\text {a }} Questão)
Um pequeno grânulo esférico é utilizado como uma cápsula que tem liberação controlada de fármacos no sistema gastrointestinal. No caso particular, um rebordo de 0,1 \mathrm{~cm} de diâmetro tem uma concentração inicial uniforme de 0,2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} da droga griseofulvina. Determine o tempo que leva para a concentração de griseofulvina no centro do cordão atingir 10 \% do seu valor inicial. A difusividade de griseofulvina no interior do material do grânulo é de 1,5.10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Após a libertação do grânulo, o medicamento é imediatamente consumido de modo a que a concentração na superfície é essencialmente zero.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
Diâmetro do grânulo: 0,1\\ \mathrm{cm}. Portanto o raio vale a=0,05\\ \mathrm{cm}.
Concentração inicial uniforme dentro do grânulo: C_0=0,2\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Condição de fronteira após a libertação: a concentração na superfície é essencialmente zero, isto é C(r=a,t)=0 para t>0.
Difusividade no material do grânulo: D=1,5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
O que se pede:
Determinar o tempo necessário para que a concentração no centro do grânulo atinja 10\% do valor inicial, ou seja encontrar t tal que C(0,t)=0,1\,C_0.
Passo 2
Modelagem física e equações fundamentais (passo-a-passo didático).
A difusão radial num grânulo esférico, assumindo simetria esférica e sem fontes internas, é descrita pela equação de difusão em coordenadas esféricas:
\partial C/\partial t é a taxa de variação temporal da concentração.
D é a difusividade (medida de quão rápido a molécula se espalha).
O operador entre colchetes é o laplaciano radial que transforma o fluxo difusivo radial em variação de concentração.
Condições do problema:
Condição inicial: C(r,0)=C_0 (uniforme).
Condição de contorno exterior: C(a,t)=0 (superfície mantida a zero por consumo imediato).
Regularidade no centro: \left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|_{r=0}=0 (simetria no centro).
É prática comum normalizar a concentração dividindo por C_0. Definimos a função adimensional
\theta(r,t)=\frac{C(r,t)}{C_0},
assim o objetivo é achar t tal que \theta(0,t)=0,1.
Método de separação de variáveis e solução em séries (idea e resultado usado):
Ao separar variáveis e impor as condições do problema obtém-se uma série de modo próprio cujos modos radiais têm a forma
R_n(r)=\frac{\sin(\lambda_n r)}{\lambda_n r},com valores próprios \lambda_n determinados por \sin(\lambda_n a)=0. Assim \lambda_n=n\pi/a para n=1,2,\dots.
A solução completa (do livro de referência de difusão) para a concentração adimensional é
\theta(r,t)=\frac{2a}{\pi r}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{1}{n}\sin\!\left(\frac{n\pi r}{a}\right) \exp\!\left(-\frac{n^2\pi^2 D t}{a^2}\right).
Agora, no centro r\to0 usa-se o limite \sin(x)\approx x quando x\to0. Fazendo esse limite em cada termo:
\lim_{r\to0}\frac{2a}{\pi r}\cdot\frac{1}{n}\sin\!\left(\frac{n\pi r}{a}\right)=2,(o sinal alternado (-1)^{n+1} permanece). Portanto a expressão simplificada no centro é\boxed{\displaystyle \theta(0,t)=\frac{C(0,t)}{C_0} =2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1} \exp\!\left(-\frac{n^2\pi^2 D t}{a^2}\right).}
Explicando: cada termo da soma representa um modo decaindo exponencialmente com taxa \dfrac{n^2\pi^2 D}{a^2}. O primeiro modo (n=1) decai mais devagar e domina para tempos suficientemente grandes.
Passo 3
Aproximação prática para encontrar o tempo pedido.
Queremos \theta(0,t)=0,1. Para tempos moderados a grandes a série é dominada pelo primeiro termo (n=1), então usamos a aproximação de primeiro termo:
\theta(0,t)\approx 2\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D t}{a^2}\right).
Justificação curta: os termos seguintes têm fator exponencial com n^2 maior; rapidamente se tornam desprezíveis. Vamos depois estimar o erro dessa aproximação.
Igualando ao alvo 0,1:
2\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D t}{a^2}\right)=0,1.
Resolver para t:
\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D t}{a^2}\right)=\frac{0,1}{2}=0,05,
-\frac{\pi^2 D t}{a^2}=\ln(0,05)=\ln\!\left(\frac{1}{20}\right)=-\ln(20),
t=\frac{a^2}{\pi^2 D}\ln(20).
Agora substituímos os valores numéricos (todos em unidades consistentes: cm e s):
a=0,05\\ \mathrm{cm} (meio do diâmetro 0,1\\ \mathrm{cm}).
D=1,5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
\ln(20)\approx2,995732.
Cálculo passo a passo:
a^2=(0,05)^2=0,0025\\ \mathrm{cm}^2,
\pi^2\approx9,8696,
\pi^2 D \approx 9,8696\times1,5\cdot10^{-7}=1,48044\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},
Ou seja, o segundo termo é cerca de 0,0125\% do primeiro — totalmente desprezível para nossa precisão. Portanto a aproximação de primeiro termo é muito boa e o resultado calculado é confiável.