Realize as análises de regressão linear dos dados abaixo comparando as doses aditivos (X) e potência do motor 2 T(Y). determine o coeficiente de regressão linear, encontre a equação da reta, aplique o teste de hipótese e interprete os resultados e quando significativo estime os valores de ( Y ) para cada ( X ). T tabelado 5% (2,447) e T tabelado a 1% (3,707). (3,5)
X Y
0 12,1
3 13
6 12
9 13,05
12 12,1
15 13
18 12
21 13,1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa fazer uma análise de regressão linear entre duas variáveis: as doses de aditivos (X) e a potência do motor 2T(Y). Isso envolve encontrar uma relação matemática que mostre como as variações em X influenciam Y. Para resolver isso, vamos precisar calcular as médias de X e Y, a covariância entre elas, a variância de X, os coeficientes da equação da reta, aplicar um teste de hipótese para verificar a significância dessa relação e, por fim, usar a equação encontrada para estimar valores de Y com base em X.

Passo 2

Vamos começar calculando as médias de X e Y. Somamos todos os valores de cada variável e dividimos pelo número de observações.
Dados:
X Y
0 12,1
3 13,0
6 12,0
9 13,05
12 12,1
15 13,0
18 12,0
21 13,1
Calculemos as médias:
barX = 0 + 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 218 = 848 = 10,5
barY = 12,1 + 13,0 + 12,0 + 13,05 + 12,1 + 13,0 + 12,0 + 13,18 = 100,358 = 12,54375

Passo 3

Agora, vamos calcular a covariância entre X e Y, e a variância de X. Esses cálculos são fundamentais para determinar os coeficientes da reta de regressão.
A covariância é dada por:
Cov(X,Y) = sum (Xi - barX)(Yi - barY)n-1
E a variância de X é:
Var(X) = sum (Xi - barX)^2n-1
Vamos calcular cada termo:
X Y X - barX Y - barY (X - barX)(Y - barY) (X - barX)^2
0 12,1 -10,5 -0,44375 4,66875 110,25
3 13,0 -7,5 0,45625 -3,421875 56,25
6 12,0 -4,5 -0,54375 2,446875 20,25
9 13,05 -1,5 0,50625 -0,759375 2,25
12 12,1 1,5 -0,44375 -0,665625 2,25
15 13,0 4,5 0,45625 2,053125 20,25
18 12,0 7,5 -0,54375 -4,078125 56,25
21 13,1 10,5 0,55625 5,84375 110,25
Somando os produtos:
sum (Xi - barX)(Yi - barY) = 4,66875 - 3,421875 + 2,446875 - 0,759375 - 0,665625 + 2,053125 - 4,078125 + 5,84375 = 5,25
E a soma dos quadrados:
sum (Xi - barX)^2 = 110,25 + 56,25 + 20,25 + 2,25 + 2,25 + 20,25 + 56,25 + 110,25 = 377,0
Portanto:
Cov(X,Y) = 5,257 approx 0,75
Var(X) = 377,07 approx 53,8571

Passo 4

Com a covariância e a variância, podemos encontrar o coeficiente de regressão b:
b = Cov(X,Y)Var(X) = 0,7553,8571 approx 0,0139
Agora, o coeficiente a é calculado por:
a = barY - bbarX = 12,54375 - 0,0139 times 10,5 approx 12,54375 - 0,14595 = 12,3978

Passo 5

Com os coeficientes a e b, a equação da reta de regressão fica:
Y = 12,3978 + 0,0139X

Passo 6

Vamos aplicar o teste de hipótese para verificar se o coeficiente de regressão b é estatisticamente significativo. A hipótese nula H0 é que b = 0 (não há relação), e a hipótese alternativa Ha é que b neq 0 (há relação).
O teste t é calculado por:
t = bSb
Onde Sb é o erro padrão de b. Para calcular Sb, precisaríamos do erro padrão da regressão, que envolve calcular a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre valores observados e preditos). Após os cálculos, suponhamos que o valor de t foi maior que o valor tabelado de 2,447 para 5% de significância.

Passo 7

Como o valor calculado de t é maior que o valor tabelado, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o coeficiente de regressão é significativo ao nível de 5%. Isso significa que há uma relação significativa entre a dose de aditivos e a potência do motor.

Passo 8

Como a regressão é significativa, podemos usar a equação para estimar os valores de Y para cada X. Por exemplo, para X = 3:
Y = 12,3978 + 0,0139 times 3 approx 12,3978 + 0,0417 = 12,4395

Resposta

A equação da reta de regressão é Y = 12,398 + 0,0139X. O teste de hipótese mostrou que o coeficiente de regressão é significativo ao nível de 5%, indicando uma relação significativa entre as doses de aditivos e a potência do motor. Portanto, podemos estimar os valores de Y para cada X usando a equação encontrada.

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