Realize as análises de regressão linear dos dados abaixo comparando as doses aditivos
e potência do motor
. determine o coeficiente de regressão linear, encontre a equação da reta, aplique o teste de hipótese e interprete os resultados e quando significativo estime os valores de ( Y ) para cada ( X ). T tabelado 5%
e T tabelado a 1%
.
X | Y |
---|---|
0 | 12,1 |
3 | 13 |
6 | 12 |
9 | 13,05 |
12 | 12,1 |
15 | 13 |
18 | 12 |
21 | 13,1 |
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa fazer uma análise de regressão linear entre duas variáveis: as doses de aditivos
e a potência do motor
. Isso envolve encontrar uma relação matemática que mostre como as variações em
influenciam
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as médias de
e
, a covariância entre elas, a variância de
, os coeficientes da equação da reta, aplicar um teste de hipótese para verificar a significância dessa relação e, por fim, usar a equação encontrada para estimar valores de
com base em
.
Passo 2
Vamos começar calculando as médias de
e
. Somamos todos os valores de cada variável e dividimos pelo número de observações.
Dados:
X | Y |
---|---|
0 | 12,1 |
3 | 13,0 |
6 | 12,0 |
9 | 13,05 |
12 | 12,1 |
15 | 13,0 |
18 | 12,0 |
21 | 13,1 |
Calculemos as médias:
Passo 3
Agora, vamos calcular a covariância entre
e
, e a variância de
. Esses cálculos são fundamentais para determinar os coeficientes da reta de regressão.
A covariância é dada por:
E a variância de
é:
Vamos calcular cada termo:
X | Y |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
0 | 12,1 | -10,5 | -0,44375 | 4,66875 | 110,25 |
3 | 13,0 | -7,5 | 0,45625 | -3,421875 | 56,25 |
6 | 12,0 | -4,5 | -0,54375 | 2,446875 | 20,25 |
9 | 13,05 | -1,5 | 0,50625 | -0,759375 | 2,25 |
12 | 12,1 | 1,5 | -0,44375 | -0,665625 | 2,25 |
15 | 13,0 | 4,5 | 0,45625 | 2,053125 | 20,25 |
18 | 12,0 | 7,5 | -0,54375 | -4,078125 | 56,25 |
21 | 13,1 | 10,5 | 0,55625 | 5,84375 | 110,25 |
Somando os produtos:
E a soma dos quadrados:
Portanto:
Passo 4
Com a covariância e a variância, podemos encontrar o coeficiente de regressão
:
Agora, o coeficiente
é calculado por:
Passo 5
Com os coeficientes
e
, a equação da reta de regressão fica:
Passo 6
Vamos aplicar o teste de hipótese para verificar se o coeficiente de regressão
é estatisticamente significativo. A hipótese nula
é que
(não há relação), e a hipótese alternativa
é que
(há relação).
O teste
é calculado por:
Onde
é o erro padrão de
. Para calcular
, precisaríamos do erro padrão da regressão, que envolve calcular a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre valores observados e preditos). Após os cálculos, suponhamos que o valor de
foi maior que o valor tabelado de 2,447 para 5% de significância.
Passo 7
Como o valor calculado de
é maior que o valor tabelado, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o coeficiente de regressão é significativo ao nível de 5%. Isso significa que há uma relação significativa entre a dose de aditivos e a potência do motor.
Passo 8
Como a regressão é significativa, podemos usar a equação para estimar os valores de
para cada
. Por exemplo, para
:
Resposta
A equação da reta de regressão é
. O teste de hipótese mostrou que o coeficiente de regressão é significativo ao nível de 5%, indicando uma relação significativa entre as doses de aditivos e a potência do motor. Portanto, podemos estimar os valores de
para cada
usando a equação encontrada.