Realize o gráfico da função f(x)=2 x-123 x-6.

Passo 1

A questão pede para traçar o gráfico da função racional f(x)=2x-123x-6. O conteúdo envolvido é de funções racionais: precisamos determinar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento em intervalos para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, o domínio vem da condição de denominador não ser zero: 3x-6neq0 implica xneq2. Logo, há uma assíntota vertical em x=2. Como grau do numerador e do denominador é o mesmo (grau 1), a assíntota horizontal é dado pelo quociente dos coeficientes principais, isto é, y=23.

Passo 3

Para achar interceptos, fazemos f(x)=0 no numerador: 2x-12=0 x=6, então ponto (6,0). Para o intercepto em y, colocamos x=0: f(0)=-12-6=2, ponto (0,2).

Passo 4

Agora, analisamos o sinal de f(x) nos intervalos definidos pela assíntota e pelo zero do numerador: numerador 2x-12 é negativo para x<6 e positivo para x>6; denominador 3x-6 é negativo para x<2 e positivo para x>2. Concluímos que:
  • Para x<2: numerador e denominador são negativos, logo f(x)>0.
  • Para 2: numerador negativo, denominador positivo, logo f(x)<0.
  • Para x>6: numerador e denominador positivos, logo f(x)>0.
    Além disso, conforme xto2^-, f(x)to+infty; conforme xto2^+, f(x)to-infty; e conforme xtopminfty, f(x)totfrac23.

Passo 5

Com todas essas informações, esboçamos o gráfico: uma ramo do tipo hipérbole para x<2 vindo de y=tfrac23 quando xto-infty e subindo para +infty em x=2^-; outro ramo para 2 que sai de -infty em x=2^+, cruza o eixo x em 6,0 e se aproxima de y=tfrac23 por baixo; e, para x>6, o gráfico continua positiv0, subindo de 0 em x=6 e se aproximando de y=tfrac23 por cima.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com assíntotas verticais em x=2 e horizontais em y=tfrac23, interceptos em (6,0) e (0,2), ramo para x<2 acima de y=tfrac23, ramo para 2 abaixo de y=tfrac23 cruzando em (6,0) e ramo para x>6 acima de y=tfrac23.

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