Realize o gráfico da função
.
Passo 1
A questão pede para traçar o gráfico da função racional
. O conteúdo envolvido é de funções racionais: precisamos determinar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento em intervalos para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, o domínio vem da condição de denominador não ser zero:
implica
. Logo, há uma assíntota vertical em
. Como grau do numerador e do denominador é o mesmo (grau 1), a assíntota horizontal é dado pelo quociente dos coeficientes principais, isto é,
.
Passo 3
Para achar interceptos, fazemos
no numerador:
dá
, então ponto
. Para o intercepto em
, colocamos
:
, ponto
.
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de
nos intervalos definidos pela assíntota e pelo zero do numerador: numerador
é negativo para
e positivo para
; denominador
é negativo para
e positivo para
. Concluímos que:
- Para
: numerador e denominador são negativos, logo . - Para
: numerador negativo, denominador positivo, logo . - Para
: numerador e denominador positivos, logo .
Além disso, conforme, ; conforme , ; e conforme , .
Passo 5
Com todas essas informações, esboçamos o gráfico: uma ramo do tipo hipérbole para
vindo de
quando
e subindo para
em
; outro ramo para
que sai de
em
, cruza o eixo
em
e se aproxima de
por baixo; e, para
, o gráfico continua positiv0, subindo de
em
e se aproximando de
por cima.
Resposta
O gráfico é uma hipérbole com assíntotas verticais em
e horizontais em
, interceptos em
e
, ramo para
acima de
, ramo para
abaixo de
cruzando em
e ramo para
acima de
.