Utilizando o Teorema de Convolução e a definição de Integral de Convolução, obtenha
, sendo
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar
, onde
. Vamos usar o Teorema da Convolução e a definição de Integral de Convolução para chegar na solução. Precisaremos conhecer as transformadas inversas de Laplace básicas e entender como aplicar a convolução de duas funções no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em duas partes que sabemos a transformada inversa de Laplace. Podemos escrever:
Aqui, identificamos duas funções separadas:
-
cuja transformada inversa é conhecida. -
cuja transformada inversa também é conhecida.
Passo 3
Vamos encontrar as transformadas inversas individuais:
- Para
:
Isso porque a transformada de Laplace de
é
.
- Para
:
Isso porque a transformada de Laplace de
é
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Convolução, que nos diz que a transformada inversa do produto de duas transformadas de Laplace é a convolução das respectivas transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:
Onde:
Então, substituindo:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para simplificar, usamos uma substituição. Deixe
, então
. Quando
,
e quando
,
. Assim, a integral fica:
Agora, expandimos e resolvemos a integral:
Calculando cada parte:
-
-
Para
, usamos integração por partes: Deixee , então e . Aplicando:
Então, juntando tudo:
Resposta
A função no domínio do tempo é: