Utilizando o Teorema de Convolução e a definição de Integral de Convolução, obtenha y(t)=L^-1[Y(s)], sendo Y(s) dada por:
Y(s)=1s^2(s^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar , onde . Vamos usar o Teorema da Convolução e a definição de Integral de Convolução para chegar na solução. Precisaremos conhecer as transformadas inversas de Laplace básicas e entender como aplicar a convolução de duas funções no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor Y(s) = 1s^2 cdot 1s^2 + 1 em duas partes que sabemos a transformada inversa de Laplace. Podemos escrever:
Aqui, identificamos duas funções separadas:
  1. cuja transformada inversa é conhecida.
  2. cuja transformada inversa também é conhecida.

Passo 3

Vamos encontrar as transformadas inversas individuais:
  • Para L^-1[1s^2] = t :
L^-1[1s^2 + 1] = sin(t)
Isso porque a transformada de Laplace de é .
  • Para :
Isso porque a transformada de Laplace de é .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Convolução, que nos diz que a transformada inversa do produto de duas transformadas de Laplace é a convolução das respectivas transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:
y(t) = f(t) * g(t) = integral0^t f(tau) cdot g(t - tau) , dtau
Onde:
  • y(t) = integral0^t tau cdot sin(t - tau) , dtau
Então, substituindo:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para simplificar, usamos uma substituição. Deixe y(t) = integralt^0 (t - u) cdot sin(u) cdot (-du) = integral0^t (t - u) cdot sin(u) , du , então y(t) = t integral0^t sin(u) , du - integral0^t u sin(u) , du . Quando -u cos(u) |0^t + integral0^t cos(u) , du = -t cos(t) + sin(t) , y(t) = t (1 - cos(t)) - (-t cos(t) + sin(t)) = t (1 - cos(t)) + t cos(t) - sin(t) = t - sin(t) e quando , . Assim, a integral fica:
Agora, expandimos e resolvemos a integral:
Calculando cada parte:
  1. Para , usamos integração por partes:
    Deixe e , então e .
    Aplicando:
Então, juntando tudo:

Resposta

A função no domínio do tempo é:
y(t) = t - sin(t)

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