Realize 5 iterações do método de Newton para aproximar a raiz de
x^{3}-6 x^{2}+12 x-8=0
partindo da aproximação inicial x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para aproximar, via método de Newton, a raiz da função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-8
começando em x_{0}=1. Vamos precisar da derivada f'(x) e da fórmula iterativa de Newton.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}-12x+12
e usamos a iteração de Newton
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 3

Para n=0, temos x_{0}=1.
Calculamos
f(1)=1-6+12-8=-1,\quad f'(1)=3-12+12=3
e portanto
x_{1}=1-\frac{-1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\approx1,33333.

Passo 4

Para n=1, x_{1}=\tfrac{4}{3}.
f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=\frac{64}{27}-6\cdot\frac{16}{9}+12\cdot\frac{4}{3}-8=-\frac{8}{27},
f'\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=3\cdot\frac{16}{9}-12\cdot\frac{4}{3}+12=\frac{4}{3}.
Logo
x_{2}=\frac{4}{3}-\frac{-8/27}{4/3} =\frac{4}{3}+\frac{2}{9} =\frac{14}{9}\approx1,55556.

Passo 5

Para n=2, x_{2}=\tfrac{14}{9}.
f\bigl(\tfrac{14}{9}\bigr)=-\frac{64}{729},\quad f'\bigl(\tfrac{14}{9}\bigr)=\frac{16}{27}.
Então
x_{3}=\frac{14}{9}-\frac{-64/729}{16/27} =\frac{14}{9}+\frac{4}{27} =\frac{46}{27}\approx1,70370.

Passo 6

Para n=3, x_{3}=\tfrac{46}{27}.
f\bigl(\tfrac{46}{27}\bigr)=-\frac{512}{19683},\quad f'\bigl(\tfrac{46}{27}\bigr)=\frac{64}{243}.
Assim
x_{4}=\frac{46}{27}-\frac{-512/19683}{64/243} =\frac{46}{27}+\frac{8}{81} =\frac{146}{81}\approx1,80247.

Passo 7

Para n=4, x_{4}=\tfrac{146}{81}.
f\bigl(\tfrac{146}{81}\bigr)=-\frac{4096}{531441},\quad f'\bigl(\tfrac{146}{81}\bigr)=\frac{256}{2187}.
Portanto
x_{5}=\frac{146}{81}-\frac{-4096/531441}{256/2187} =\frac{146}{81}+\frac{16}{243} =\frac{454}{243}\approx1,86873.

Resposta

x_{1}=\tfrac{4}{3}\approx1{,}33333
x_{2}=\tfrac{14}{9}\approx1{,}55556
x_{3}=\tfrac{46}{27}\approx1{,}70370
x_{4}=\tfrac{146}{81}\approx1{,}80247
x_{5}=\tfrac{454}{243}\approx1{,}86873

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