Aproxime \sqrt{5} realizando quatro iterações na fórmula da questão anterior com aproximação inicial x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{5} realizando quatro iterações da fórmula de Newton–Raphson, partindo da aproximação inicial x_{0}=1. Vamos usar a iteração para resolver a equação f(x)=x^{2}-5=0.

Passo 2

A fórmula iterativa de Newton–Raphson para f(x)=x^{2}-5 é
x_{n+1} \;=\; \frac{x_{n} + \dfrac{5}{x_{n}}}{2}.

Passo 3

Para n=0 temos x_{0}=1, então
x_{1} \;=\; \frac{1 + \dfrac{5}{1}}{2} \;=\; \frac{1 + 5}{2} \;=\; 3.
Para n=1 usamos x_{1}=3:
x_{2} \;=\; \frac{3 + \dfrac{5}{3}}{2} \;=\; \frac{3 + 1,6667}{2} \;\approx\; 2,3333.

Passo 4

Agora para n=2, com x_{2}\approx2,3333:
x_{3} \;=\; \frac{2,3333 + \dfrac{5}{2,3333}}{2} \;=\; \frac{2,3333 + 2,1429}{2} \;\approx\; \frac{4,4762}{2} \;=\; 2,2381.

Passo 5

Por fim, para n=3 e x_{3}\approx2,2381:
x_{4} \;=\; \frac{2,2381 + \dfrac{5}{2,2381}}{2} \;=\; \frac{2,2381 + 2,2340}{2} \;\approx\; \frac{4,4721}{2} \;=\; 2,2361.

Resposta

Após quatro iterações, a aproximação de \sqrt{5} é
\sqrt{5}\;\approx\;x_{4}\;=\;2,2361.

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