Em um reator batelada, foi observado que a reação de decomposição do Pentóxido de Dinitrogênio (
) possuí o seguinte caminho reacional:
Admitindo-se que a reação em questão é de primeira ordem, e com os dados de temperatura e tempo de meia vida fornecidos na tabela abaixo, estime qual seria a energia de ativação desta reação.
200
150
100
4,6
50
780
Dados:
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| 200 |
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| 150 |
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| 100 | 4,6 |
| 50 | 780 |
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: estimar a energia de ativação da reação de decomposição de
, supondo cinética de primeira ordem, usando os dados de temperatura e meia-vida. - Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
- Temperaturas em grau Celsius:
. - Meias-vidas correspondentes em segundos:
.
- Temperaturas em grau Celsius:
- Fórmulas e relações que usarei (explicarei cada uma nos passos seguintes):
- Para reação de primeira ordem:
, logo . - Lei de Arrhenius:
. Tomando logaritmo natural: Essa é uma relação linear entre (ordenada) e (abscissa); o coeficiente angular (slope) é .
- Para reação de primeira ordem:
- Estratégia (só descrevo, a resolução começa no Passo 2): converter temperaturas para Kelvin, calcular
a partir de , montar pares com e , fazer regressão linear (mínimos quadrados) para obter o slope , e calcular . Vou usar as fórmulas de regressão linear indicadas no enunciado para (intercept) e (slope).
Passo 2
Converter temperaturas para Kelvin e calcular as constantes de velocidade
a partir das meias-vidas.
- Converter temperaturas (peguei os
em da tabela e apliquei ): - Para cada
calculo usando (a constante ): ]
Passo 3
Construir os pontos para a regressão linear:
e
. Calcular explicitamente
,
e as somas necessárias.
- Valores de
(em ): - Valores de
: - Calcular as somas necessárias (vou mostrar os valores numéricos aproximados):
(esses valores foram obtidos somando os calculados ponto a ponto conforme mostrado acima).]
Passo 4
Fazer a regressão linear pelo método dos mínimos quadrados para obter o slope
(coeficiente angular) e o intercept
. Uso as fórmulas fornecidas no enunciado; aqui apresento-as de forma clara e aplico numericamente.
- Defino
. - A fórmula para o coeficiente angular
(slope) é Substituindo os valores numéricos: Portanto (unidade: , pois tem unidade ). - A interpretação teórica: como
e da Arrhenius temos , chega-se à relação Assim, a partir de podemos obter .
Passo 5
Calcular a energia de ativação
a partir de
. Usar a constante dos gases
.
- Da relação
segue Substituindo e : - Convertendo para unidades mais usuais:
- Comentário didático curto: esse valor é uma estimativa obtida por ajuste linear dos quatro pontos; incertezas nos dados e aproximações numéricas podem alterar um pouco o valor final, mas a ordem de grandeza (cerca de
) é robusta.