Um reator batelada é usado para estudar a reação gasosa reversível: 2 \mathrm{~A}_{(\mathrm{g})} \rightleftharpoons \mathrm{B}_{(\mathrm{g})}. A reação ocorre sob temperatura e pressão constantes. Inicialmente, o sistema contém apenas A, com concentração de 1 \mathrm{mol} / \mathrm{L} e volume inicial de \mathrm{V}_{0}=2,0. Após uma série de experimentos, as seguintes taxas foram medidas para diferentes conversões de A :
Conversão ( \mathrm{X}_{\mathrm{A}} ) Taxa de reação global ( \mathrm{r}_{\mathrm{A}} )( \mathrm{mol} / \mathrm{L} \cdot \mathrm{min} )
0,1 0,136
0,3 0,090
0,5 0,000
0,6 -0,042
0,8 -0,100
a) Escreva a equação da reação reversível e identifique os coeficientes estequiométricos.
b) Obtenha as expressões de C _{\text {A }} e C _{\text {B }}.
c) Deduza a equação da taxa global. Justifique as ordens da reação.
d) Ajuste os valores de k_{D} e k_{I} usando os dados experimentais.
e) Calcule a conversão de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado trata de um reator batelada a temperatura e pressão constantes, onde ocorre a reação reversível
2A_{(g)} \rightleftharpoons B_{(g)}
com concentração inicial de A igual a C_{A0}=1{,}0\\ \mathrm{mol/L} e volume inicial V_0=2{,}0\\ \mathrm{L}. Foram medidas taxas de desaparecimento de A (definidas como
r_A=-\frac{dC_A}{dt}) para várias conversões X_A. Vamos:
  1. Escrever a reação e identificar coeficientes estequiométricos.
  2. Derivar C_A(X_A) e C_B(X_A) sob condição P,T constantes.
  3. Deducir a forma da taxa global e justificar ordens.
  4. Ajustar k_D e k_I.
  5. Calcular X_{A,eq}.

Passo 2

a) A equação química é
2A_{(g)} \rightleftharpoons B_{(g)}
onde o coeficiente estequiométrico de A é -2 (reagente) e de B é +1 (produto).

Passo 3

b) Sob P,T constantes em fase gasosa, V\propto n_{tot}. Definindo conversão
X_A=\frac{n_{A0}-n_A}{n_{A0}},
tem-se progresso de reação \xi = n_{A0}X_A/2. Logo
n_A = n_{A0}(1-X_A),\quad n_B = \xi = \frac{n_{A0}X_A}{2},\quad n_{\rm tot}=n_{A0}(1-\tfrac{X_A}{2}),
e como V=V_0\,n_{\rm tot}/n_{A0}, as concentrações são
C_A = \frac{n_A}{V} = C_{A0}\,\frac{1-X_A}{1-\tfrac{X_A}{2}}, \quad C_B = \frac{n_B}{V} = C_{A0}\,\frac{\tfrac{X_A}{2}}{1-\tfrac{X_A}{2}}.

Passo 4

c) Admitindo cinética de massa de ação (2ª ordem em A no avanço direto e 1ª ordem em B no reverso) e lembrando que
r=-\frac{1}{2}\frac{dC_A}{dt}=k_D\,C_A^2 - k_I\,C_B,
então
r_A=-\frac{dC_A}{dt} =2\,\bigl(k_D\,C_A^2 - k_I\,C_B\bigr).
A ordem 2 em A vem de haver duas moléculas de A reagindo, e ordem 1 em B de um único produto reagindo no sentido inverso.

Passo 5

d) Para ajustar k_D e k_I linearizamos:
\frac{r_A}{2\,C_A^2} = k_D \;-\; k_I\,\frac{C_B}{C_A^2}.
Calculando C_A e C_B em dois pontos distantes, por exemplo X_A=0{,}1 e X_A=0{,}8, e resolvendo o sistema, obtém-se numericamente
k_D \approx 0{,}081\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}\cdot\min}, \quad k_I \approx 0{,}092\\ \frac{1}{\min}.

Passo 6

e) Na condição de equilíbrio r_A=0, então
k_D\,C_A^2 = k_I\,C_B.
Substituindo C_A e C_B em função de X_A leva à equação quadrática
2\,k_D\,(1-X_A)^2 \;=\; k_I\,X_A,
cuja raiz física é
X_{A,eq}\approx 0{,}48\,
(e pelas medidas experimentais observa-se r_A=0 em X_A=0{,}50, confirmando valor próximo).

Resposta

a) \displaystyle 2A_{(g)}\rightleftharpoons B_{(g)}, com \nu_A=-2 e \nu_B=+1.
b) \displaystyle C_A=C_{A0}\,\frac{1-X_A}{1-\tfrac{X_A}{2}},\quad C_B=C_{A0}\,\frac{\tfrac{X_A}{2}}{1-\tfrac{X_A}{2}}.
c) \displaystyle r_A=-\frac{dC_A}{dt}=2\bigl(k_D\,C_A^2 - k_I\,C_B\bigr), ordens 2 em A e 1 em B.
d) \displaystyle k_D\approx0{,}081\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)},\quad k_I\approx0{,}092\\ \mathrm{min^{-1}}.
e) \displaystyle X_{A,eq}\approx0{,}48.

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