Em um reator de combustão que opera a 1450 K e 1 atm, pellets de carvão são pulverizados em um leito fluidizado alimentado com oxigênio puro. Os pellets podem ser aproximados como partículas esféricas com raio
mm . O oxigênio é transportado por difusão até a superfície da partícula, onde reage segundo a estequiometria
. O processo é controlado pela difusão, com reação instantânea para o consumo de
a difusividade binária para o sistema
é
a 273 K e 1 atm. Pede-se:
(a) obtenha as expressões para as distribuições radiais de concentração em regime estacionário;
(a) obtenha as expressões para as distribuições radiais de concentração em regime estacionário;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um reator de combustão funcionando a 1450 K e 1 atm, onde pellets de carvão esféricos de raio $ R = 1 $ mm estão sendo queimados. O oxigênio puro é levado por difusão até a superfície dessas partículas, onde reage instantaneamente formando dióxido de carbono ($ \mathrm{CO}2 $). A difusividade do sistema $ \mathrm{O}{2(\mathrm{g})}-\mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})} $ é dada. O objetivo aqui é encontrar as expressões que descrevem como a concentração de oxigênio varia radialmente nas partículas quando o sistema está em regime estacionário. Vamos precisar usar conceitos de difusão em coordenadas esféricas e considerar as condições de fronteira apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “regime estacionário”. Isso quer dizer que, com o tempo, a concentração de oxigênio em cada ponto da partícula não muda mais; ela alcança um equilíbrio onde a quantidade que chega é igual à quantidade que reage. Para modelar isso, vamos usar a equação de difusão na forma estacionária em coordenadas esféricas, pois estamos lidando com partículas esféricas.
Passo 3
A equação geral de difusão em coordenadas esféricas para um sistema radialmente simétrico (sem variação angular) em regime estacionário é dada por:
Aqui, $ D $ é a difusividade do oxigênio no meio, $ c $ é a concentração de oxigênio, e $ r $ é a distância do centro da partícula.
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Como $ D $ é constante, podemos retirar $ D $ da derivada:
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para $ \frac{dc}{dr} $:
Integrando novamente para encontrar $ c® $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos aplicar as condições de fronteira para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
- No centro da partícula ($ r = 0 $), a concentração deve ser finita. Se considerarmos que $ c® $ não tende ao infinito, então $ C_1 = 0 $.
- Na superfície da partícula ($ r = R $), a concentração de oxigênio é zero devido à reação instantânea.
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Passo 8
Portanto, a concentração de oxigênio dentro da partícula é constante e igual a zero em todo o interior, o que não faz sentido físico. Isso indica que a reação não é instantânea em todo o volume, mas apenas na superfície. Precisamos reconsiderar a abordagem.
Vamos assumir que a reação ocorre apenas na superfície, então o fluxo de oxigênio na superfície é equilibrado pela reação. A expressão correta para $ c® $ será baseada na solução da equação de difusão com a condição de reação na superfície.
Passo 9
Voltando à expressão geral:
Aplicando a condição na superfície $ r = R $:
Assim, a concentração fica:
Passo 10
Para determinar $ C_1 $, usamos a condição de fluxo na superfície igual à taxa de reação. O fluxo de oxigênio na superfície é dado por:
Esse fluxo é igual à taxa de consumo de oxigênio pela reação. Como a reação é instantânea, podemos relacionar $ J $ com a velocidade de reação conhecida.
Resposta
A distribuição radial da concentração de oxigênio em regime estacionário é dada por:
Onde:
- $ c® $ é a concentração de oxigênio em uma distância $ r $ do centro da partícula,
- $ J $ é o fluxo de oxigênio na superfície,
- $ R $ é o raio da partícula,
- $ D $ é a difusividade do oxigênio no sistema.