Utilizando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
(\mathbf{2 , 5}) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede sua solução usando transformada de Laplace:
2y'' - 2y' + 5y = 0
com condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes listadas:
  • A equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • As condições iniciais são os valores de y e y' em t=0.
  • Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Lembrete das fórmulas essenciais da transformada de Laplace para derivadas (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} é a transformada de Laplace da função y(t).
  • A transformada da primeira derivada é
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
onde s é a variável da transformada e y(0) é o valor inicial.
  • A transformada da segunda derivada é
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes no cálculo da transformada; aqui uso-as diretamente porque são padrões em problemas de PVI.
Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} na equação \;2y''-2y'+5y=0.

Passo 3

Aplicando a transformada termo a termo e usando as fórmulas das derivadas:
2\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-2\big(sY(s)-y(0)\big)+5Y(s)=0.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0:
2\big(s^{2}Y(s)-2s-0\big)-2\big(sY(s)-2\big)+5Y(s)=0.
Distribuindo os fatores:
2s^{2}Y(s)-4s-2sY(s)+4+5Y(s)=0.
Agrupando os termos que contêm Y(s) e os termos sem Y(s):
\big(2s^{2}-2s+5\big)Y(s)+(-4s+4)=0.
Isolando Y(s):
\big(2s^{2}-2s+5\big)Y(s)=4s-4,
portanto
Y(s)=\frac{4s-4}{2s^{2}-2s+5}.

Passo 4

Agora vamos manipular Y(s) para escrevê-lo em formas cuja transformada inversa é conhecida. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
Y(s)=\frac{4s-4}{2\big(s^{2}-s+\tfrac{5}{2}\big)}=\frac{4s-4}{2\big(s^{2}-s+\tfrac{5}{2}\big)}.
Para trabalhar com as fórmulas padrão usamos o deslocamento (s-a). Completo o quadrado em s^{2}-s:
s^{2}-s+\tfrac{5}{2}=(s-\tfrac{1}{2})^{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{2}=(s-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{9}{4}.
Logo o denominador fica
2\big((s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}\big).
Agora reescrevo o numerador em termos de (s-\tfrac{1}{2}). Note que
4s-4=4\big(s-\tfrac{1}{2}\big)-2,
pois 4\big(s-\tfrac{1}{2}\big)=4s-2 e subtraindo mais 2 obtemos 4s-4. Assim
Y(s)=\frac{4\big(s-\tfrac{1}{2}\big)-2}{2\big((s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}\big)}.
Dividindo cada termo:
Y(s)=\frac{4\big(s-\tfrac{1}{2}\big)}{2\big((s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}\big)}-\frac{2}{2\big((s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}\big)}.
Simplificando os fatores numéricos:
Y(s)=2\cdot\frac{(s-\tfrac{1}{2})}{(s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}}-\frac{1}{(s-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{3}{2})^{2}}.

Passo 5

Agora uso as transformadas inversas padrão (vou explicar por que essas fórmulas valem):
  • Para a e b>0,
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Essas fórmulas vêm de aplicar o deslocamento exponencial na transformada de \cos e \sin. Observe que, a partir da segunda fórmula,
\frac{1}{(s-a)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{b}\cdot\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
e portanto sua inversa é \frac{1}{b}e^{at}\sin(bt).
No nosso caso temos a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{3}{2}. Compare termos:
Y(s)=2\cdot\frac{(s-a)}{(s-a)^{2}+b^{2}}-\frac{1}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aplicando as inversas:
  • A primeira parcela inverte para 2e^{at}\cos(bt).
  • A segunda parcela é -\dfrac{1}{b}e^{at}\sin(bt) porque como mostrado acima multiplica-se por 1/b.

Passo 6

Assim a solução no domínio do tempo é
y(t)=2e^{\tfrac{1}{2}t}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)-\frac{1}{\tfrac{3}{2}}e^{\tfrac{1}{2}t}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big).
Simplificando o fator \dfrac{1}{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}:
y(t)=e^{\tfrac{1}{2}t}\left(2\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)-\tfrac{2}{3}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)\right).
Como checagem rápida, em t=0 obtemos y(0)=e^{0}(2\cdot1-0)=2, que confere com a condição inicial; e derivando e avaliando em 0 obtém-se y'(0)=0, conferindo também a outra condição inicial.

Resposta

y(t)=e^{\tfrac{1}{2}t}\left(2\cos\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)-\tfrac{2}{3}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t\big)\right)

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