Utilizando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede sua solução usando transformada de Laplace:
com condições iniciais
Informações relevantes listadas:
- A equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes.
- As condições iniciais são os valores de
e em . - Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e resolver para
.
Passo 2
Lembrete das fórmulas essenciais da transformada de Laplace para derivadas (vou explicar o que cada símbolo significa):
-
é a transformada de Laplace da função . - A transformada da primeira derivada é
onde
é a variável da transformada e
é o valor inicial.
- A transformada da segunda derivada é
Essas fórmulas vêm da integração por partes no cálculo da transformada; aqui uso-as diretamente porque são padrões em problemas de PVI.
Agora aplico
na equação
.
Passo 3
Aplicando a transformada termo a termo e usando as fórmulas das derivadas:
Agora substituo as condições iniciais
e
:
Distribuindo os fatores:
Agrupando os termos que contêm
e os termos sem
:
Isolando
:
portanto
Passo 4
Agora vamos manipular
para escrevê-lo em formas cuja transformada inversa é conhecida. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
Para trabalhar com as fórmulas padrão usamos o deslocamento
. Completo o quadrado em
:
Logo o denominador fica
Agora reescrevo o numerador em termos de
. Note que
pois
e subtraindo mais
obtemos
. Assim
Dividindo cada termo:
Simplificando os fatores numéricos:
Passo 5
Agora uso as transformadas inversas padrão (vou explicar por que essas fórmulas valem):
- Para
e ,
Essas fórmulas vêm de aplicar o deslocamento exponencial na transformada de
e
. Observe que, a partir da segunda fórmula,
e portanto sua inversa é
.
No nosso caso temos
e
. Compare termos:
Aplicando as inversas:
- A primeira parcela inverte para
. - A segunda parcela é
porque como mostrado acima multiplica-se por .
Passo 6
Assim a solução no domínio do tempo é
Simplificando o fator
:
Como checagem rápida, em
obtemos
, que confere com a condição inicial; e derivando e avaliando em
obtém-se
, conferindo também a outra condição inicial.