Um reator de fissão nuclear utiliza urânio (U-238). O isótopo radioativo decresce a uma taxa proporcional a quantidade presente em qualquer tempo. Sua meiavida é de aproximadamente
anos. Se
de urânio está inicialmente em um reator, encontre a solução analítica que representa o decaimento radioativo em função do tempo. Selecione um método numérico e estime a massa restante de urânio após 50 anos (com passo de 10 anos). Calcule os erros do método numérico utilizado com relação à solução analítica.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto (peguei tudo do enunciado):
- Meia-vida:
anos. - Massa inicial:
- Modelo físico: decaimento radioativo proporcional à quantidade presente (isto gera uma EDO simples).
O que é pedido:
- Encontrar a solução analítica que representa o decaimento em função do tempo.
- Selecionar um método numérico, aplicar com passo de
anos e estimar a massa após anos. - Calcular os erros do método numérico em relação à solução analítica.
Passo 2
Montando o modelo diferencial e resolvendo (a teoria passo a passo, sem pular etapas).
- O enunciado diz “taxa proporcional à quantidade”: isso significa que a taxa de variação da massa
satisfaz
onde
é a constante de decaimento (unidade: 1/ano). Aqui o sinal negativo indica que a massa diminui com o tempo.
- Esta é uma equação diferencial separável. Para resolver fazemos separação de variáveis:
- Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
- Exponenciando, obtemos a família de soluções positivas (para massa):
com
. Impomos condição inicial
, então
. Logo a forma geral:
- Agora relacionamos
com a meia-vida . Pela definição de meia-vida:
Divide-se por
e toma-se logaritmo:
Portanto
Passo 3
Calcular o valor numérico de
e escrever a solução analítica com números (aqui mostro as contas):
-
. - Então
- Substituindo em
, a solução analítica é
ou, numericamente,
Passo 4
Escolha do método numérico e justificativa (explicando como usar na prova).
- Vou escolher o método de Euler explícito (método de Euler forward). Por quê?
- É o método numérico mais simples para uma EDO do tipo
; é fácil de aplicar manualmente em prova sem calculadora complexa. - Serve também para ensinar: passo a passo mostra a estrutura de iteração.
- Para passo pequeno (aqui
anos) e constante de decaimento muito pequena, o método dá resultados extremamente próximos da solução exata.
- É o método numérico mais simples para uma EDO do tipo
- Fórmula do método de Euler (com passo
e iterações aproximando , ):
Substituindo
:
Essa forma é prática: em cada passo multiplica-se pela constante
.
Passo 5
Aplicando Euler com passo
anos para estimar até
anos (cálculos passo a passo).
- Primeiro calculemos
:
- O fator multiplicador por passo é
- Como
anos corresponde a passos (0,10,20,30,40,50), a iteração fechada é
- Vou listar os valores em cada passo, comparando com a solução analítica
. Para pequenos podemos aproximar por série, mas aqui uso a forma numérica aproximada (os termos quadráticos são minúsculos, então mostro os resultados com precisão e os erros):
Tabela (valores arredondados convenientemente; erros muito pequenos):
-
anos: - Euler:
- Exata:
- Erro absoluto:
- Euler:
-
anos ( ): - Euler:
- Exata:
(diferença na 17.ª casa decimal) - Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Euler:
-
anos ( ): - Euler:
- Exata:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Euler:
-
anos ( ): - Euler:
- Exata:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Euler:
-
anos ( ): - Euler:
- Exata:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Euler:
-
anos ( ): - Euler:
- Exata:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Euler:
Observações sobre esses números (didática + interpretação): os erros numéricos são da ordem de
kg, ou seja, absolutamente desprezíveis quando comparados com a massa inicial de
kg. A razão é dupla: (i) a constante de decaimento
é extremamente pequena (meia-vida astronomicamente grande), portanto a solução varia muito pouco em 50 anos; (ii) o passo
anos é pequeno comparado à escala temporal
, o que reduz o erro do método de Euler. Em geral, o método de Euler tem erro global da ordem
, mas aqui o fator multiplicador
torna os termos de erro ainda menores (os termos que aparecem são proporcional a
para a diferença entre a exponencial e o polinômio de Taylor).
Passo 6
Resumo prático (como usar isto na prova e o que isso significa).
- Solução exata: usar
. Mostre essa dedução rápida na prova: EDO separável → → constante calculada por meia-vida. - Método numérico: Euler explícito com passo
usa . Para valores pequenos de e esse método é simples e já dá boa precisão. - Para este problema, após
anos a massa praticamente não se altera (diferença da ordem a kg em relação a kg não; mais precisamente a queda é da ordem de kg, e o erro numérico do método escolhido é muito menor, da ordem de kg).
Resposta
Erro absoluto em
:
; erro relativo: