Suponha que a água de um tanque cilíndrico esteja sendo drenada por um orifício circular de área
localizado no fundo do tanque. Foi determinado experimentalmente que, quando o atrito da água no oríficio é levado em consideração, o volume de água que sai do tanque por segundo é aproximadamente
. Encontre a equação diferencial para a altura
de água em qualquer instante
para o tanque com altura de 10 m e diâmetro de 5 m . Determine o nível do tanque após 8 h , considerando que no instante inicial o tanque estava completamente cheio. O diâmetro do orifício mede 2 cm e considere
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Pede (1) encontrar a equação diferencial para a altura
da água no tanque e (2) calcular o nível do tanque após 8 horas, sabendo que inicialmente o tanque estava cheio. - Dados fornecidos:
- Altura do tanque:
. - Diâmetro do tanque:
(portanto raio do tanque ). - Diâmetro do orifício:
(portanto raio do orifício ). - A vazão experimental (volume por segundo que sai) é aproximadamente
, onde é a área do orifício. - Aceleração da gravidade:
.
- Altura do tanque:
- Condição inicial:
. - Queremos
. Observação: .
Passo 2
Entendendo a física e a relação entre volume e altura.
- A vazão de saída (volume por tempo) dada pelo enunciado é
- Seja
o volume de água no tanque no instante . A variação do volume é a vazão que sai (negativa, pois o volume diminui):
- A relação entre volume e altura para um tanque cilíndrico de seção transversal constante
é
Aqui
é a área da base do cilindro (área circular do tanque).
Passo 3
Montando a equação diferencial em termos de
.
- Diferenciando
obtemos
- Substituindo na equação da vazão:
- Isolando
obtemos a equação diferencial procurada (forma geral):
Passo 4
Calcular as áreas numéricas do tanque e do orifício.
- Área do orifício:
- Área da base do tanque:
- A razão
simplifica porque ambos têm :
Passo 5
Escrever a constante que aparece na ODE e obter valor numérico.
- Defina a constante
- Substituindo
e :
- Calcular numericamente:
(As unidades de
são tais que
tem unidades de
.)
Passo 6
Resolver a equação diferencial (separável) passo a passo.
- A ODE é
- Separar variáveis:
- Integrar ambos os lados:
- A primitiva do lado esquerdo é
. Assim:
onde
é a constante de integração.
- Aplicar a condição inicial
:
- Portanto, a solução implícita/expressa é
ou
- Elevando ao quadrado (garantindo que o lado direito seja não negativo; a fórmula vale enquanto houver água):
Passo 7
Calcular numericamente
.
- Usar
e . - Calcular
:
- Calcular
:
- Subtrair:
- Elevar ao quadrado:
Passo 8
Interpretação curta e checagem de coerência.
- O valor obtido é positivo e menor que a altura inicial
, portanto coerente. - A fórmula é válida enquanto
. Com estes números o tempo teórico para esvaziamento total seria , muito maior que 8 h, então a água não chegou a zero em 8 h.