Um reator químico experimental é retangular, com base no plano xy, ocupando a região:
\begin{aligned} & 0<=x<=4(\text { largura em cm }) & \text { e } & -3<=y<=0 \text { (altura em cm) } \end{aligned}
A concentração de um poluente nesse reator é dada pela função ( \mathrm{em} \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{2} ):
C(x, y)=\frac{5000 e^{\frac{y}{2}}}{1+\left(\frac{x}{3}\right)^{2}}
Calcule a quantidade total de poluente contida no reator.
Somente de forma manual.

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração do poluente C(x,y) em \mathrm{mg/cm}^2 sobre um retângulo
0 \le x \le 4,\quad -3 \le y \le 0.
A quantidade total de poluente é obtida pela integral dupla de C(x,y) sobre essa região. Como C(x,y) separa em função de x vezes função de y, poderemos fatorar a integral.

Passo 2

Escrevemos a quantidade total M como
M \;=\;\iint_{R} C(x,y)\,dA \;=\;\int_{x=0}^{4}\int_{y=-3}^{0}\frac{5000\,e^{y/2}}{1+(x/3)^{2}}\;dy\,dx.

Passo 3

Fatoramos o integrando:
C(x,y) =\frac{5000\,e^{y/2}}{1+(x/3)^{2}} =\Bigl(\tfrac{1}{1+(x/3)^2}\Bigr)\cdot\bigl(5000\,e^{y/2}\bigr),
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M =\Bigl(\int_{0}^{4}\tfrac{dx}{1+(x/3)^2}\Bigr)\, \Bigl(\int_{-3}^{0}5000\,e^{y/2}\,dy\Bigr).

Passo 4

Calculamos a parte em y:
\int_{-3}^{0}5000\,e^{y/2}\,dy =5000\int_{-3}^{0}e^{y/2}\,dy.
Como \int e^{y/2}dy=2e^{y/2}, resulta
5000\cdot2\bigl[e^{y/2}\bigr]_{-3}^{0} =10000\bigl(1 - e^{-3/2}\bigr).

Passo 5

Agora a parte em x:
\int_{0}^{4}\frac{dx}{1+(x/3)^{2}}.
Fazendo u=x/3 dx=3\,du, u:0\to4/3, obtemos
3\int_{0}^{4/3}\frac{du}{1+u^2} =3\bigl[\arctan(u)\bigr]_{0}^{4/3} =3\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 6

Multiplicando as duas partes:
M =3\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\times10000\bigl(1 - e^{-3/2}\bigr) =30000\,\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\bigl(1 - e^{-3/2}\bigr).
Numericamente, \arctan(4/3)\approx0,9273 e e^{-3/2}\approx0,2231, então
M\approx30000\times0,9273\times0,7769\approx21615\\ \text{mg}.

Resposta

M = 30000\,\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\bigl(1 - e^{-3/2}\bigr)\approx2{,}16\times10^{4}\text{ mg}.

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