Um comerciante comprou x relógios pelo custo total de y reais. Todos os relógios, exceto três, foram vendidos com lucro de \mathrm{R} \ 120,00 por unidade. Cada um dos três relógios restantes foi vendido pela terça parte do custo de um relógio. Se o lucro total do comerciante foi deêóçó\mathrm{R} $7200,00 , qual o menor valor possivel parax$ ?
a) 63
b) 64
c) 65
d) 62
e) 61

Passo 1

O problema diz que um comerciante comprou x relógios por um custo total de y reais, ou seja, o custo unitário é \tfrac{y}{x}. Ele vendeu (x-3) relógios com lucro de R$120,00 em cada um, isto é, a preço \tfrac{y}{x}+120, e os 3 restantes a um terço do custo unitário, isto é, \tfrac{1}{3}\,\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). O lucro total foi de R$ 7200. Vamos usar essa informação para montar uma equação em x e y.

Passo 2

O faturamento total é
R = (x-3)\Bigl(\frac{y}{x}+120\Bigr)\;+\;3\cdot\frac{1}{3}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)
e o lucro P é P=R - y. Substituindo em P=7200, temos
(x-3)\Bigl(\frac{y}{x}+120\Bigr)+\frac{y}{x}\;-\;y \;=\;7200.
Vamos simplificar esse valor de P.

Passo 3

Expandindo e combinando termos:
R = (x-3)\frac{y}{x} +120(x-3) + \frac{y}{x} = \frac{(x-3+1)\,y}{x} +120(x-3) = \frac{(x-2)\,y}{x} +120(x-3).
Logo o lucro é
P = R - y = \frac{(x-2)\,y}{x} +120(x-3) - y = -\frac{2y}{x} +120(x-3).
Igualando a 7200 e multiplicando ambos os lados por x:
-2y +120x(x-3) =7200\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{120x(x-3)-7200x}{2} =60\,x\,(x-63).

Passo 4

Como y é o custo total e precisa ser positivo, exige-se
60\,x\,(x-63)>0 \;\Longrightarrow\; x>63.
O menor inteiro maior que 63, dentre as opções dadas, é 64.

Resposta

64

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