Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int \sqrt{5 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{5x+1}\,dx
usando a Regra da Substituição. Essa técnica consiste em escolher uma nova variável u de modo que a parte mais “complicada” do integrando vire algo mais simples, e sua derivada apareça como fator.

Passo 2

Definimos
u = 5x + 1,
então
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sqrt{5x+1}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int u^{\tfrac12}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1):
\frac{1}{5}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{5}\,\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{15}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembramos que u=5x+1. Logo a primitiva é
\frac{2}{15}\,(5x+1)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}(5x+1)^{3/2} + C

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