Os rebites de aluminio usados na construção de aviões são feitos com um diâmetro ligeiramente maior do que o diâmetro do buraco, e resfriados com gelo seco ( CO2 sólido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diâmetro de um buraco na fuselagem vale 2,0 mm a 30^circ C, (a) qual deve ser o diâmetro de um rebite nesta temperatura ( 30^circ C) dado que ele (o rebite) entra no buraco de forma justa quando está a -78^circ C (que é a temperatura do gelo seco)? (b) Qual a variação percentual de seu raio dada a esta variação de temperatura? Ao voar em altitude de cruzeiro, o avião enfrenta normalmente temperatura média de -50^circ C, pergunta-se: © qual será o raio do buraco a esta temperatura e (d) qual a variação percentual da área do burado nesta variação de temperatura? Coeficiente de dilatação do alumínio = 2,3 times 10^-5 / ^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando. A questão é de dilatação térmica linear (conteúdo: coeficiente de dilatação do alumínio, α). A gente sabe que o furo na fuselagem tem diâmetro de 2,0 mm a 30 °C. O rebite também é de alumínio (mesmo α = 2,3×10⁻⁵ /°C). Eles resfriam o rebite a –78 °C pra ele encolher e entrar justo no furo que tá a 30 °C. Depois, querem ver como o raio do furo muda quando o avião sobe e fica a –50 °C, e qual a variação percentual da área.
Pra resolver a gente vai usar:
  1. Fórmula da dilatação linear: D(T) = D0,[1 + alpha, (T - T0)]
    2) Pra área, lembrar que o coeficiente de área é aproximadamente β = 2α, ou então calcular direto A = πR².

Passo 2

(a) Diâmetro do rebite a 30 °C
Como o rebite a –78 °C entra justo num furo de 2,0 mm, temos:
Drm rivet(-78) = 2,0;mm
Agora ele se aquece até 30 °C, então aplicamos a dilatação:
Drm rivet(30) = Drm rivet(-78),l[1 + alpha,(30 - (-78))r]
Substituindo valores:
De
Drm rivet(30) = 2,0,l[1 + 2,3times10^-5times108r] = 2,0times1,002484 approx 2,005;mm

Passo 3

(b) Variação percentual do raio do rebite entre –78 °C e 30 °C
O raio é metade do diâmetro, então:
R(-78)=1,000;mm, R(30)=tfrac12,2,005=1,0025;mm
A variação percentual é
$$\frac{R(30)-R(-78)}{R(-78)}\times100%
= \frac{1{,}0025-1{,}000}{1{,}000}\times100%
\approx 0{,}25%.$$

Passo 4

© Raio do furo a –50 °C
O furo, a 30 °C, é 2,0 mm. Quando cai pra –50 °C, ΔT = –50 – 30 = –80 °C, então:
Drm ho<=(-50) = 2,0,[1 + alpha,(-80)] = 2,0,(1 - 2,3times10^-5times80) = 2,0times0,99816 approx 1,9963;mm
Logo o raio:
Rrm ho<=(-50)=tfrac12,1,9963approx0,9982;mm

Passo 5

(d) Variação percentual da área do furo (30 °C → –50 °C)
Podemos usar β ≃ 2α e ΔT = –80 °C, então
De
Ou calculando direto:
$$A(30)=\pi(1{,}0)^2=\pi,\quad
A(-50)=\pi(0{,}9982)^2\approx0{,}9963,\pi,$$
A(30)=pi(1,0)^2=pi, A(-50)=pi(0,9982)^2approx0,9963,pi,

Resposta

(a) D_rivet(30 °C) ≃ 2,005 mm
(b) ΔR/R ≃ +0,25 %
© R_furo(–50 °C) ≃ 0,9982 mm
(d) ΔA/A ≃ –0,368 %

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