Os rebites de aluminio usados na construção de aviões são feitos com um diâmetro ligeiramente maior do que o diâmetro do buraco, e resfriados com gelo seco (
sólido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diâmetro de um buraco na fuselagem vale
a
, (a) qual deve ser o diâmetro de um rebite nesta temperatura (
) dado que ele (o rebite) entra no buraco de forma justa quando está a
(que é a temperatura do gelo seco)? (b) Qual a variação percentual de seu raio dada a esta variação de temperatura? Ao voar em altitude de cruzeiro, o avião enfrenta normalmente temperatura média de
, pergunta-se: © qual será o raio do buraco a esta temperatura e (d) qual a variação percentual da área do burado nesta variação de temperatura? Coeficiente de dilatação do alumínio
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando. A questão é de dilatação térmica linear (conteúdo: coeficiente de dilatação do alumínio, α). A gente sabe que o furo na fuselagem tem diâmetro de 2,0 mm a 30 °C. O rebite também é de alumínio (mesmo α = 2,3×10⁻⁵ /°C). Eles resfriam o rebite a –78 °C pra ele encolher e entrar justo no furo que tá a 30 °C. Depois, querem ver como o raio do furo muda quando o avião sobe e fica a –50 °C, e qual a variação percentual da área.
Pra resolver a gente vai usar:
- Fórmula da dilatação linear:
2) Pra área, lembrar que o coeficiente de área é aproximadamente β = 2α, ou então calcular direto A = πR².
Passo 2
(a) Diâmetro do rebite a 30 °C
Como o rebite a –78 °C entra justo num furo de 2,0 mm, temos:
Como o rebite a –78 °C entra justo num furo de 2,0 mm, temos:
Agora ele se aquece até 30 °C, então aplicamos a dilatação:
Substituindo valores:
Passo 3
(b) Variação percentual do raio do rebite entre –78 °C e 30 °C
O raio é metade do diâmetro, então:
O raio é metade do diâmetro, então:
A variação percentual é
$$\frac{R(30)-R(-78)}{R(-78)}\times100%
= \frac{1{,}0025-1{,}000}{1{,}000}\times100%
\approx 0{,}25%.$$
Passo 4
© Raio do furo a –50 °C
O furo, a 30 °C, é 2,0 mm. Quando cai pra –50 °C, ΔT = –50 – 30 = –80 °C, então:
O furo, a 30 °C, é 2,0 mm. Quando cai pra –50 °C, ΔT = –50 – 30 = –80 °C, então:
Logo o raio:
Passo 5
(d) Variação percentual da área do furo (30 °C → –50 °C)
Podemos usar β ≃ 2α e ΔT = –80 °C, então
Podemos usar β ≃ 2α e ΔT = –80 °C, então
Ou calculando direto:
$$A(30)=\pi(1{,}0)^2=\pi,\quad
A(-50)=\pi(0{,}9982)^2\approx0{,}9963,\pi,$$
Resposta
(a) D_rivet(30 °C) ≃ 2,005 mm
(b) ΔR/R ≃ +0,25 %
© R_furo(–50 °C) ≃ 0,9982 mm
(d) ΔA/A ≃ –0,368 %
(b) ΔR/R ≃ +0,25 %
© R_furo(–50 °C) ≃ 0,9982 mm
(d) ΔA/A ≃ –0,368 %