3.7 A receita bruta (a porcentagem de receita que resta depois de se subtrair o custo dos bens vendidos) da Cisco foi de 70,1% da receita total ao longo de certo período de 4 anos. Se a receita total foi de $5,4 bilhões durante os 2 primeiros anos e de
6,1
20 %$ ao ano?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá: a margem de receita bruta é de
da receita total durante um período de 4 anos. - Dá: a receita total foi
bilhões durante os 2 primeiros anos (ou seja, o total combinado dos anos 1 e 2 é bilhões). - Dá: a receita total foi
bilhões durante os 2 últimos anos (ou seja, o total combinado dos anos 3 e 4 é bilhões). - Dá: taxa de juros (taxa de desconto)
ao ano.
O enunciado pede: o valor anual equivalente da receita bruta ao longo do período de 4 anos, à taxa de
ao ano. Ou seja, transformar os quatro fluxos de receita bruta (que são diferentes entre os dois primeiros e os dois últimos anos) em um único valor anual uniforme
tal que o valor presente de
por 4 anos (à taxa de
) seja igual ao valor presente dos fluxos reais de receita bruta.
Passo 2
Primeiro passo prático: achar a receita total por ano em cada bloco de dois anos (peguei esses totais do enunciado).
- Receita por ano nos anos 1 e 2:
- Receita por ano nos anos 3 e 4:
Explicação rápida: dividir o total de cada bloco pelo número de anos daquele bloco para obter a receita anual média naquele bloco.
Passo 3
Calcular a receita bruta (70,1% da receita total) em cada ano aplicando a porcentagem (peguei a porcentagem do enunciado).
- Margem
em forma decimal. - Receita bruta em anos 1 e 2:
- Receita bruta em anos 3 e 4:
Comentário: agora temos os quatro fluxos de caixa anuais (brutos) que vão ocorrer nos anos 1, 2, 3 e 4.
Passo 4
Relembrando a ideia financeira usada: valor presente (PV) de um fluxo no ano
é o valor futuro dividido por
, onde
é a taxa de juros anual. Vou descontar cada receita bruta ao tempo zero (início do período) para obter o valor presente total.
Fórmula de desconto de um fluxo no ano
:
Aqui
(ou
).
Calculemos cada PV (valores em bilhões de dólares):
- Ano 1:
- Ano 2:
- Ano 3:
- Ano 4:
Observação sobre os cálculos: cada denominador é
. Os resultados acima estão em bilhões de dólares.
Passo 5
Somar os valores presentes dos quatro anos para obter o valor presente total da receita bruta ao longo dos 4 anos:
Portanto, o valor presente total é aproximadamente
bilhões.
Passo 6
Agora transformar esse valor presente em um valor anual equivalente
(uma anuidade uniforme) que, ao ser recebida ao final de cada ano durante 4 anos e descontada à taxa de
, tem o mesmo valor presente.
A relação entre PV e uma anuidade uniforme
em
anos é:
Aqui
e
. O fator
é chamado de fator
.
Calculemos o fator
:
Passo 7
Despejar
da relação
:
Substituindo valores (todos em bilhões):
Arredondando para uma apresentação prática:
bilhões por ano.
Passo 8
Interpretação e encorajamento rápido: isso significa que receber uma quantia uniforme de cerca de
bilhões ao final de cada ano durante 4 anos, descontada a
ao ano, equivale ao mesmo valor presente dos fluxos reais de receita bruta variáveis que calculamos. Bom trabalho por chegar até aqui — nós quebramos o problema em pedacinhos fáceis e usamos as fórmulas padrão de valor presente e de anuidade.