3.7 A receita bruta (a porcentagem de receita que resta depois de se subtrair o custo dos bens vendidos) da Cisco foi de 70,1% da receita total ao longo de certo período de 4 anos. Se a receita total foi de $5,4 bilhões durante os 2 primeiros anos e de \6,1 bilhões durante os 2 últimos anos, qual foi o valor anual equivalente da receita bruta ao longo desse período de 4 anos, a uma taxa de juros deõúí20 %$ ao ano?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá: a margem de receita bruta é de 70,1\% da receita total durante um período de 4 anos.
  • Dá: a receita total foi \$5,4 bilhões durante os 2 primeiros anos (ou seja, o total combinado dos anos 1 e 2 é \$5,4 bilhões).
  • Dá: a receita total foi \$6,1 bilhões durante os 2 últimos anos (ou seja, o total combinado dos anos 3 e 4 é \$6,1 bilhões).
  • Dá: taxa de juros (taxa de desconto) i=20\% ao ano.
O enunciado pede: o valor anual equivalente da receita bruta ao longo do período de 4 anos, à taxa de 20\% ao ano. Ou seja, transformar os quatro fluxos de receita bruta (que são diferentes entre os dois primeiros e os dois últimos anos) em um único valor anual uniforme A tal que o valor presente de A por 4 anos (à taxa de 20\%) seja igual ao valor presente dos fluxos reais de receita bruta.

Passo 2

Primeiro passo prático: achar a receita total por ano em cada bloco de dois anos (peguei esses totais do enunciado).
  • Receita por ano nos anos 1 e 2:
\text{Receita}_{1}=\text{Receita}_{2}=\frac{\$5,4\\ \text{bilhões}}{2}=\$2,7\\ \text{bilhões}.õõ
  • Receita por ano nos anos 3 e 4:
\text{Receita}_{3}=\text{Receita}_{4}=\frac{\$6,1\\ \text{bilhões}}{2}=\$3,05\\ \text{bilhões}.õõ
Explicação rápida: dividir o total de cada bloco pelo número de anos daquele bloco para obter a receita anual média naquele bloco.

Passo 3

Calcular a receita bruta (70,1% da receita total) em cada ano aplicando a porcentagem (peguei a porcentagem do enunciado).
  • Margem \,70{,}1\% = 0{,}701 em forma decimal.
  • Receita bruta em anos 1 e 2:
\text{GB}_{1}=\text{GB}_{2}=0{,}701\times\$2,7\\ \text{bilhões}=\$1{,}8927\\ \text{bilhões}.õõ
  • Receita bruta em anos 3 e 4:
\text{GB}_{3}=\text{GB}_{4}=0{,}701\times\$3,05\\ \text{bilhões}=\$2{,}13805\\ \text{bilhões}.õõ
Comentário: agora temos os quatro fluxos de caixa anuais (brutos) que vão ocorrer nos anos 1, 2, 3 e 4.

Passo 4

Relembrando a ideia financeira usada: valor presente (PV) de um fluxo no ano t é o valor futuro dividido por (1+i)^t, onde i é a taxa de juros anual. Vou descontar cada receita bruta ao tempo zero (início do período) para obter o valor presente total.
Fórmula de desconto de um fluxo no ano t:
\text{PV do fluxo no ano }t=\frac{\text{Fluxo no ano }t}{(1+i)^t}.
Aqui i=0{,}20 (ou 20\%).
Calculemos cada PV (valores em bilhões de dólares):
  • Ano 1:
\text{PV}_1=\frac{1{,}8927}{1{,}2}=1{,}57725.
  • Ano 2:
\text{PV}_2=\frac{1{,}8927}{1{,}2^2}=\frac{1{,}8927}{1{,}44}=1{,}314375.
  • Ano 3:
\text{PV}_3=\frac{2{,}13805}{1{,}2^3}=\frac{2{,}13805}{1{,}728}=1{,}2372975.
  • Ano 4:
\text{PV}_4=\frac{2{,}13805}{1{,}2^4}=\frac{2{,}13805}{2{,}0736}=1{,}0310812.
Observação sobre os cálculos: cada denominador é (1{,}2)^t. Os resultados acima estão em bilhões de dólares.

Passo 5

Somar os valores presentes dos quatro anos para obter o valor presente total da receita bruta ao longo dos 4 anos:
\text{PV}_{\text{total}}=\text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3+\text{PV}_4 =1{,}57725+1{,}314375+1{,}2372975+1{,}0310812 =5{,}1600037\\ \text{(bilhões)}.õ
Portanto, o valor presente total é aproximadamente \$5{,}1600037 bilhões.

Passo 6

Agora transformar esse valor presente em um valor anual equivalente A (uma anuidade uniforme) que, ao ser recebida ao final de cada ano durante 4 anos e descontada à taxa de i=20\%, tem o mesmo valor presente.
A relação entre PV e uma anuidade uniforme A em n anos é:
\text{PV}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui n=4 e i=0{,}20. O fator \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} é chamado de fator P/A.
Calculemos o fator P/A:
\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=\frac{1-(1{,}2)^{-4}}{0{,}20} =\frac{1-\dfrac{1}{2{,}0736}}{0{,}20} =\frac{1-0{,}4822530864}{0{,}20}=2{,}588734568\\ \text{(aprox.)}.

Passo 7

Despejar A da relação \text{PV}=A\cdot(P/A):
A=\frac{\text{PV}}{(P/A)}.
Substituindo valores (todos em bilhões):
A=\frac{5{,}1600037}{2{,}588734568}=1{,}9932533\\ \text{(bilhões por ano, aprox.)}.õ
Arredondando para uma apresentação prática: A\approx\$1{,}993 bilhões por ano.

Passo 8

Interpretação e encorajamento rápido: isso significa que receber uma quantia uniforme de cerca de \$1{,}993 bilhões ao final de cada ano durante 4 anos, descontada a 20\% ao ano, equivale ao mesmo valor presente dos fluxos reais de receita bruta variáveis que calculamos. Bom trabalho por chegar até aqui — nós quebramos o problema em pedacinhos fáceis e usamos as fórmulas padrão de valor presente e de anuidade.

Resposta

\$1{,}993\\ \text{bilhões por ano (aprox.)}õ

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