3.8 As receitas de vendas da BKM são apresentadas a seguir. Calcule o valor anual equivalente (anos 1 a 7) utilizando uma taxa de juros de 10% ao ano.
Ano Desembolso, $ Ano Desembolso, $
0 4 5.000
1 4.000 5 5.000
2 4.000 6 5.000
3 4.000 7 5.000

Passo 1

O enunciado dá os desembolsos (receitas) nos anos 1 a 7 e pede o valor anual equivalente entre os anos 1 e 7 usando taxa de juros de 10% ao ano.
Informações fornecidas:
  • Taxa de juros: i=10\% ao ano.
  • Desembolsos (valores recebidos em cada ano):
    • Ano 1: \$4.000
    • Ano 2: \$4.000
    • Ano 3: \$4.000
    • Ano 4: \$5.000
    • Ano 5: \$5.000
    • Ano 6: \$5.000
    • Ano 7: \$5.000
O que se pede:
  • Calcular o valor anual equivalente uniforme A (anos 1 a 7) que seja equivalente, à taxa de 10\% a.a., aos fluxos dados.

Passo 2

O que significa “valor anual equivalente” e qual a estratégia:
  • Queremos encontrar uma série uniforme anual A (mesmo valor todo ano, dos anos 1 a 7) tal que o valor presente dessa série seja igual ao valor presente dos fluxos reais dados.
  • Fórmulas que vamos usar:
    • Valor presente de uma série uniforme de n pagamentos A: PV_{A} = A\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.Aqui PV_{A} é o valor presente no instante zero, i é a taxa por período, n é o número de períodos e A é o pagamento anual.
    • Inversamente, dado um valor presente PV, o equivalente anual A em n anos é A = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
  • Plano prático:
    1. Calcular o valor presente PV no instante zero dos fluxos dados.
    2. Converter esse PV em um A uniforme para n=7 anos usando a fórmula acima.

Passo 3

Calcular o valor presente dos \$4.000 pagos nos anos 1 a 3 como uma anuidade de 3 anos:
  • Usamos o fator (P/A,i,n)=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Com i=0{,}10 e n=3: (P/A,10\%,3)=\frac{1-(1+0{,}10)^{-3}}{0{,}10}.Primeiro calculemos (1+0{,}10)^3=1{,}1^3=1{,}331 e então (1{,}1)^{-3}=\dfrac{1}{1{,}331}=0{,}7513148009 (aprox.). (P/A,10\%,3)=\frac{1-0{,}7513148009}{0{,}10}= \frac{0{,}2486851991}{0{,}10}=2{,}486851990984222.
  • Valor presente desses três pagamentos: PV_{1\text{–}3}=4000\cdot 2{,}486851990984222 \approx \$9.947,41.

Passo 4

Calcular o valor presente dos \$5.000 pagos nos anos 4 a 7 (quatro pagamentos consecutivos iniciando no ano 4).
  • Tratamos isso como uma anuidade de 4 anos deferida: primeiro o PV no instante 3 (imediatamente antes do pagamento do ano 4), depois descontamos de t=3 para t=0.
  • Fator para 4 anos: (P/A,10\%,4)=\frac{1-(1{,}1)^{-4}}{0{,}10}.Calculando (1{,}1)^4=1{,}4641 e (1{,}1)^{-4}=0{,}6830134554 (aprox.), (P/A,10\%,4)=\frac{1-0{,}6830134554}{0{,}10}=3{,}169865446349295.
  • PV no instante t=3 desses quatro pagamentos: PV_{t=3}=5000\cdot 3{,}169865446349295 \approx \$15.849,33.
  • Trazer esse PV_{t=3} para t=0 dividindo por (1{,}1)^3=1{,}331: PV_{4\text{–}7}= \frac{15.849{,}327231746475}{1{,}331}\approx \$11.907,83.
  • Observação alternativa (mesma conta, útil para verificar): usando a expressão direta para anuidade diferida, PV_{4\text{–}7}=5000\cdot\frac{(1{,}1)^{-3}-(1{,}1)^{-7}}{0{,}10},que dá o mesmo resultado numérico.

Passo 5

Somar os valores presentes das duas partes para obter o PV total no instante zero:
PV = PV_{1\text{–}3} + PV_{4\text{–}7} \approx 9.947{,}41 + 11.907{,}83 = \$21.855{,}24.
(Valor com mais casas: PV \approx \$21.855{,}242129.)

Passo 6

Converter o PV total em um equivalente anual uniforme A para n=7 anos a i=10\%.
  • Usamos A = PV\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.Aqui n=7 e i=0{,}10. Primeiro calculemos o fator: 1-(1{,}1)^{-7}=1-0{,}5131581176=0{,}4868418824,então \frac{i}{1-(1+i)^{-7}}=\frac{0{,}10}{0{,}4868418824}\approx 0{,}2054581985.
  • Finalmente A \approx 21.855{,}242129\cdot 0{,}2054581985 \approx \$4.489{,}10.

Resposta

\$4.489{,}10

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