3.8 As receitas de vendas da BKM são apresentadas a seguir. Calcule o valor anual equivalente (anos 1 a 7) utilizando uma taxa de juros de 10% ao ano.
Ano
Desembolso, $
Ano
Desembolso, $
0
4
5.000
1
4.000
5
5.000
2
4.000
6
5.000
3
4.000
7
5.000
| Ano | Desembolso, $ | Ano | Desembolso, $ |
| 0 | 4 | 5.000 | |
| 1 | 4.000 | 5 | 5.000 |
| 2 | 4.000 | 6 | 5.000 |
| 3 | 4.000 | 7 | 5.000 |
Passo 1
O enunciado dá os desembolsos (receitas) nos anos 1 a 7 e pede o valor anual equivalente entre os anos 1 e 7 usando taxa de juros de 10% ao ano.
Informações fornecidas:
- Taxa de juros:
ao ano. - Desembolsos (valores recebidos em cada ano):
- Ano 1:
- Ano 2:
- Ano 3:
- Ano 4:
- Ano 5:
- Ano 6:
- Ano 7:
- Ano 1:
O que se pede:
- Calcular o valor anual equivalente uniforme
(anos 1 a 7) que seja equivalente, à taxa de a.a., aos fluxos dados.
Passo 2
O que significa “valor anual equivalente” e qual a estratégia:
- Queremos encontrar uma série uniforme anual
(mesmo valor todo ano, dos anos 1 a 7) tal que o valor presente dessa série seja igual ao valor presente dos fluxos reais dados. - Fórmulas que vamos usar:
- Valor presente de uma série uniforme de
pagamentos : Aqui é o valor presente no instante zero, é a taxa por período, é o número de períodos e é o pagamento anual. - Inversamente, dado um valor presente
, o equivalente anual em anos é
- Valor presente de uma série uniforme de
- Plano prático:
- Calcular o valor presente
no instante zero dos fluxos dados. - Converter esse
em um uniforme para anos usando a fórmula acima.
- Calcular o valor presente
Passo 3
Calcular o valor presente dos
pagos nos anos 1 a 3 como uma anuidade de 3 anos:
- Usamos o fator
. - Com
e : Primeiro calculemos e então (aprox.). - Valor presente desses três pagamentos:
Passo 4
Calcular o valor presente dos
pagos nos anos 4 a 7 (quatro pagamentos consecutivos iniciando no ano 4).
- Tratamos isso como uma anuidade de 4 anos deferida: primeiro o PV no instante 3 (imediatamente antes do pagamento do ano 4), depois descontamos de
para . - Fator para 4 anos:
Calculando e (aprox.), - PV no instante
desses quatro pagamentos: - Trazer esse
para dividindo por : - Observação alternativa (mesma conta, útil para verificar): usando a expressão direta para anuidade diferida,
que dá o mesmo resultado numérico.
Passo 5
Somar os valores presentes das duas partes para obter o
total no instante zero:
(Valor com mais casas:
.)
Passo 6
Converter o
total em um equivalente anual uniforme
para
anos a
.
- Usamos
Aqui e . Primeiro calculemos o fator: então - Finalmente