Resolva a equação diferencial:
y^{\prime}=\frac{2 y^{4}+x^{4}}{x y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial, isto é, encontrar as funções y(x) que satisfazem
y^{\prime}=\frac{2 y^{4}+x^{4}}{x y^{3}},
onde por y^{\prime} entendemos \dfrac{dy}{dx}. Informação relevante do enunciado: a expressão tem divisão por x e por y^{3}, logo pontos onde x=0 ou y=0 são singularidades do enunciado (a equação não é definida ali). A tarefa é obter a solução geral (com constante arbitrária) e indicar as restrições de domínio quando necessário.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma mais explícita usando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2 y^{4}+x^{4}}{x y^{3}}.
Faço uma pequena álgebra para simplificar a aparência da direita dividindo os termos:
\frac{dy}{dx}= \frac{2y^{4}}{x y^{3}} + \frac{x^{4}}{x y^{3}} = \frac{2y}{x} + \frac{x^{3}}{y^{3}}.
Essa forma já nos mostra uma combinação de termos envolvendo y e potências de x. Vou tentar uma substituição que possa tornar a equação mais simples: como vejo potências y e y^{3}, experimento a substituição
u = y^{4}.
Antes de aplicar, explico por que: se u=y^{4} então a derivada \dfrac{du}{dx}=4 y^{3}\dfrac{dy}{dx}, ou seja, o fator y^{3} que aparece no denominador original aparece naturalmente ao relacionar du/dx com dy/dx. Isso costuma linearizar equações com termos do tipo y^{n} e y^{n-1}y'.

Passo 3

Calculo \dfrac{du}{dx} usando u=y^{4}:
\frac{du}{dx}=4 y^{3}\frac{dy}{dx}.
Agora substituo \dfrac{dy}{dx} pela expressão dada:
\frac{du}{dx}=4 y^{3}\left(\frac{2y}{x}+\frac{x^{3}}{y^{3}}\right).
Distribuindo os termos:
\frac{du}{dx}=4\left(\frac{2y^{4}}{x} + x^{3}\right).
Mas y^{4}=u, então
\frac{du}{dx}=4\left(\frac{2u}{x} + x^{3}\right).
Simplificando:
\frac{du}{dx}=\frac{8u}{x}+4x^{3}.

Passo 4

Pongo essa equação na forma linear padrão (todos os termos com u são levados para o lado esquerdo):
\frac{du}{dx}-\frac{8}{x}u=4x^{3}.
Aqui é uma equação linear de primeira ordem em u(x) da forma \dfrac{du}{dx}+P(x)u=Q(x) com P(x)=-\dfrac{8}{x} e Q(x)=4x^{3}.
A técnica padrão para equações lineares de 1ª ordem é o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Calculamos:
\mu(x)=\exp\left(\int -\frac{8}{x}\,dx\right)=\exp(-8\ln|x|)=|x|^{-8}.
Como a equação original já exige x\neq0, podemos trabalhar com \mu(x)=x^{-8} (mantendo em mente a questão do sinal de x para as raízes mais adiante).

Passo 5

Multiplico a equação linear por \mu(x)=x^{-8}. Isso transforma o lado esquerdo numa derivada do produto \mu u:
x^{-8}\frac{du}{dx}-\frac{8}{x}x^{-8}u = 4x^{3}x^{-8}.
O lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big(x^{-8}u\big),
e o lado direito é
4x^{-5}.
Então obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{-8}u\big)=4x^{-5}.

Passo 6

Integramos em relação a x:
x^{-8}u=\int 4x^{-5}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-4}}{-4} + C = -x^{-4}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto
x^{-8}u = -x^{-4}+C.
Multiplicando por x^{8}:
u = -x^{4} + C x^{8}.

Passo 7

Lembrando que u=y^{4}, temos a solução implícita/algebraica
y^{4} = C x^{8} - x^{4}.
Podemos reescrever de forma mais elegante:
y^{4} + x^{4} = C x^{8},
que é a constante de primeira integração escrita de modo implícito. Para obter y explicitamente, tomo raiz quarta em ambos os lados. Como |y|=(y^{4})^{1/4} e |x|=(x^{4})^{1/4}, obtemos
|y| = |x|\big(C x^{4}-1\big)^{1/4}.
Logo as soluções explícitas são
y(x)=\pm |x|\big(C x^{4}-1\big)^{1/4}.
Se eu quiser eliminar o valor absoluto de |x| posso separar casos: para x>0,
y(x)=\pm x\big(C x^{4}-1\big)^{1/4},
e para x<0,
y(x)=\pm (-x)\big(C x^{4}-1\big)^{1/4}.

Passo 8

Observações importantes sobre domínio e sinais:
  • A equação original não é definida em x=0 nem onde y=0 (divisão por zero). Portanto soluções não passam por pontos com x=0 ou y=0.
  • Para termos solução real explícita precisamos de \,C x^{4}-1\ge 0, isto é, dado um C fixo, os x admissíveis satisfazem x^{4}\ge 1/C se C>0. Para C\le 0 não haverá x reais que satisfaçam a desigualdade (exceto casos degenerados), então cabe interpretar C de modo que a expressão sob a raiz quarta seja não negativa no domínio considerado. A forma implícita y^{4}+x^{4}=C x^{8} evita a necessidade imediata de discutir a raiz, mas ainda impõe restrições de sinal para soluções reais.

Resposta

y^{4}+x^{4}=C x^{8}
\text{ou, explicitamente, }y(x)=\pm |x|\big(C x^{4}-1\big)^{1/4},\quad C\in\mathbb{R},
com a ressalva de que x\neq0 e que os pares (x,C) devem tornar \,C x^{4}-1\ge0 para solução real explícita.

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