Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial, isto é, encontrar as funções
que satisfazem
onde por
entendemos
. Informação relevante do enunciado: a expressão tem divisão por
e por
, logo pontos onde
ou
são singularidades do enunciado (a equação não é definida ali). A tarefa é obter a solução geral (com constante arbitrária) e indicar as restrições de domínio quando necessário.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma mais explícita usando
:
Faço uma pequena álgebra para simplificar a aparência da direita dividindo os termos:
Essa forma já nos mostra uma combinação de termos envolvendo
e potências de
. Vou tentar uma substituição que possa tornar a equação mais simples: como vejo potências
e
, experimento a substituição
Antes de aplicar, explico por que: se
então a derivada
, ou seja, o fator
que aparece no denominador original aparece naturalmente ao relacionar
com
. Isso costuma linearizar equações com termos do tipo
e
.
Passo 3
Calculo
usando
:
Agora substituo
pela expressão dada:
Distribuindo os termos:
Mas
, então
Simplificando:
Passo 4
Pongo essa equação na forma linear padrão (todos os termos com
são levados para o lado esquerdo):
Aqui é uma equação linear de primeira ordem em
da forma
com
e
.
A técnica padrão para equações lineares de 1ª ordem é o fator integrante
, definido por
Calculamos:
Como a equação original já exige
, podemos trabalhar com
(mantendo em mente a questão do sinal de
para as raízes mais adiante).
Passo 5
Multiplico a equação linear por
. Isso transforma o lado esquerdo numa derivada do produto
:
O lado esquerdo é
e o lado direito é
Então obtemos
Passo 6
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Portanto
Multiplicando por
:
Passo 7
Lembrando que
, temos a solução implícita/algebraica
Podemos reescrever de forma mais elegante:
que é a constante de primeira integração escrita de modo implícito. Para obter
explicitamente, tomo raiz quarta em ambos os lados. Como
e
, obtemos
Logo as soluções explícitas são
Se eu quiser eliminar o valor absoluto de
posso separar casos: para
,
e para
,
Passo 8
Observações importantes sobre domínio e sinais:
- A equação original não é definida em
nem onde (divisão por zero). Portanto soluções não passam por pontos com ou . - Para termos solução real explícita precisamos de
, isto é, dado um fixo, os admissíveis satisfazem se . Para não haverá reais que satisfaçam a desigualdade (exceto casos degenerados), então cabe interpretar de modo que a expressão sob a raiz quarta seja não negativa no domínio considerado. A forma implícita evita a necessidade imediata de discutir a raiz, mas ainda impõe restrições de sinal para soluções reais.
Resposta
com a ressalva de que
e que os pares
devem tornar
para solução real explícita.