Um recipiente cilíndrico feito de um material com coeficiente de dilatação térmica linear
, possui altura inicial
, raio interno da base
, estando completamente cheio de um líquido de dilatação linear de
e temperatura inicial de
. Quando a temperatura do sistema é reduzida em
, determine o volume do líquido que vazará do recipiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um recipiente cilíndrico que muda de tamanho quando a temperatura varia, tanto o material do recipiente quanto o líquido dentro dele se expandem ou contraem. O que queremos descobrir é quanto de líquido vai vazar quando a temperatura diminui. Vamos usar os conceitos de dilatação térmica linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dilatação térmica. A dilatação linear descreve como um material se expande ou contrai com a mudança de temperatura. A fórmula geral para a variação no comprimento (ou dimensão linear) é:
onde:
-
é a variação no comprimento, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Como estamos lidando com um recipiente cilíndrico, precisamos calcular a variação na altura e no raio devido à mudança de temperatura. Vamos calcular cada um separadamente para o recipiente e para o líquido.
Passo 4
Para o recipiente:
- Altura:
A altura final do recipiente será:
- Raio:
O raio final do recipiente será:
Passo 5
Para o líquido:
O líquido também sofre dilatação, mas vamos considerar o volume. A dilatação volumétrica pode ser aproximada por:
onde
é o volume inicial.
Primeiro, calculamos o volume inicial do líquido:
Agora, a variação de volume:
Então, o volume final do líquido será:
Passo 6
Agora, calculamos o volume final do recipiente após a contração:
Calculando isso:
Passo 7
Comparando o volume final do líquido com o volume final do recipiente:
Resposta
Não haverá vazamento de líquido, pois o volume do líquido após a contração é igual ao volume do recipiente.