Um recipiente cilíndrico feito de um material com coeficiente de dilatação térmica linear alpha1=12 times 10^-6 ^circ C^-1, possui altura inicial h0=30 cm, raio interno da base r0=10 cm, estando completamente cheio de um líquido de dilatação linear de alpha2=5 times 10^-6 ^circ C^-1 e temperatura inicial de Ti=80^circ C. Quando a temperatura do sistema é reduzida em 40^circ C, determine o volume do líquido que vazará do recipiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um recipiente cilíndrico que muda de tamanho quando a temperatura varia, tanto o material do recipiente quanto o líquido dentro dele se expandem ou contraem. O que queremos descobrir é quanto de líquido vai vazar quando a temperatura diminui. Vamos usar os conceitos de dilatação térmica linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação térmica. A dilatação linear descreve como um material se expande ou contrai com a mudança de temperatura. A fórmula geral para a variação no comprimento (ou dimensão linear) é:
De
onde:
  • De é a variação no comprimento,
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear,
  • L0 é o comprimento inicial,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Como estamos lidando com um recipiente cilíndrico, precisamos calcular a variação na altura e no raio devido à mudança de temperatura. Vamos calcular cada um separadamente para o recipiente e para o líquido.

Passo 4

Para o recipiente:
  • Altura:
De
A altura final do recipiente será:
hfinal = h0 + De
  • Raio:
De
O raio final do recipiente será:
rfinal = r0 + De

Passo 5

Para o líquido:
O líquido também sofre dilatação, mas vamos considerar o volume. A dilatação volumétrica pode ser aproximada por:
De
onde V0 é o volume inicial.
Primeiro, calculamos o volume inicial do líquido:
V0 = pi cdot r0^2 cdot h0 = pi cdot 10^2 cdot 30 = 3000pi cm^3
Agora, a variação de volume:
De
Então, o volume final do líquido será:
Vfinal líquido = V0 + Deí

Passo 6

Agora, calculamos o volume final do recipiente após a contração:
Vfinal recipiente = pi cdot rfinal^2 cdot hfinal = pi cdot (9,9952)^2 cdot 29,9856
Calculando isso:
Vfinal recipiente approx pi cdot 99,904 cdot 29,9856 approx 2998,2pi cm^3

Passo 7

Comparando o volume final do líquido com o volume final do recipiente:
Vfinal líquido - Vfinal recipiente = 2998,2pi - 2998,2pi = 0 cm^3 í

Resposta

Não haverá vazamento de líquido, pois o volume do líquido após a contração é igual ao volume do recipiente.

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