Resolva os problemas de Valor Inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
E a gente também tem duas condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e como encontrar soluções usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. O próximo passo é encontrar a equação característica associada a essa equação. A equação característica ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.
Passo 3
A equação característica para uma equação diferencial da forma:
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 5
Como a equação característica tem uma raiz dupla (
), a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Derivando usando a regra do produto:
Agora, substituindo
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: