Resolva os problemas de Valor Inicial
y^prime prime+12 y^prime+36=0 ly(0)=0 y^prime(0)=-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime + 12 y^prime + 36 y = 0
E a gente também tem duas condições iniciais:
y(0) = 0 e y^prime(0) = -7
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e como encontrar soluções usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
y^prime prime + 12 y^prime + 36 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. O próximo passo é encontrar a equação característica associada a essa equação. A equação característica ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.

Passo 3

A equação característica para uma equação diferencial da forma:
ay^prime prime + by^prime + cy = 0
é dada por:
ar^2 + br + c = 0
No nosso caso, r^2 + 12r + 36 = 0 , e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -12 pm raiz12^2 - 4 cdot 1 cdot 362 cdot 1 = -12 pm raiz144 - 1442 = -122 = -6
Aplicando os valores:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 5

Como a equação característica tem uma raiz dupla ( y(x) = (C1 + C2 x) e^-6x ), a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 0 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 Rightarrow 0 = C1 e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Segunda condição: y(x) = C2 x e^-6x
Primeiro, vamos encontrar a derivada de y^prime(x) = C2 e^-6x + C2 x (-6) e^-6x = C2 e^-6x - 6 C2 x e^-6x :
y^prime(0) = C2 e^0 - 6 C2 cdot 0 cdot e^0 = C2 = -7
Derivando usando a regra do produto:
Agora, substituindo :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = -7x e^-6x

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