Um recipiente cúbico de 80 cm de aresta é preenchido com partículas cilindricas de 0,5 cm de diâmetro e altura de 1,0 cm, o espaço vazio preenchido com solvente orgânico. Calcule a densidade aparente do sistema sabendo que a densidade dos grãos de milho ê 7,41 g/cm^3 e a do solvente 0,785 g/cm^3.
rhoa=rhor(1-varepsilon)+rhof

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cubo de 80 cm de aresta preenchido com cilindros (cada um com diâmetro
d = 0,5;cm
e altura
h = 1,0;cm),
e o espaço vazio foi preenchido por um solvente. Queremos achar a densidade aparente do conjunto sólido+solvente.
Conteúdo da matéria: volume de sólidos, volume total, fração vazia (porosidade) e densidade aparente como média ponderada. Vamos precisar:
  1. Volume do cubo.
  2. Volume de um cilindro e quantos cabem no cubo.
  3. Porosidade ε = (volume vazio)/(volume total).
  4. Aplicar fórmula
rhoa ;=;rhos,(1-varepsilon);+;rhof,varepsilon,

Passo 2

Calcular o volume total do recipiente (o cubo):
Vrm tot = 80^3 = 512,000;cm^3,

Passo 3

Volume de um cilindro de diâmetro d e altura h:
$$V_{\rm cil} = \pi;\frac{d^2}{4};h = \pi;\frac{(0{,}5)^2}{4}\times 1{,}0
= \pi,\frac{0{,}25}{4} = \pi\times0{,}0625 \approx 0{,}19635;\mathrm{cm^3}.$$

Passo 4

Descobrir quantos cilindros cabem no cubo:
  • Na base, cada cilindro ocupa 0,5 cm de largura, então em 80 cm cabem Nx = 800,5 = 160
    colunas e o mesmo número de linhas, totalizando
    Nrm camada = 160times160 = 25600cilindros por camada.
  • Em altura, como cada cilindro tem 1,0 cm, há Nrm a
    camadas.
Logo o número total de cilindros é
N = 25600times 80 = 2048000
O volume ocupado pelos sólidos é
Vs = N ;Vrm cil = 2,048,000 times 0,19635 approx 402,653;cm^3

Passo 5

Calcular a porosidade ε (fração de volume vazio):
varepsilon = 1 - VsVrm tot = 1 - 402,653512,000 approx 1 - 0,7866 = 0,2134

Passo 6

Aplicar a fórmula da densidade aparente:
rhoa = rhos,(1-varepsilon) + rhof,varepsilon,
onde
$$\rho_s = 7{,}41;\mathrm{g/cm^3},\quad
\rho_f = 0{,}785;\mathrm{g/cm^3}.$$
Então
rhos = 7,41;g/cm^3, rhof = 0,785;g/cm^3

Resposta

A densidade aparente do sistema é aproximadamente
boxed6,00;g/cm^3$

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