Um recipiente cúbico de vidro com volume inicial de 500 \mathrm{~cm}^{3} está a 25^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é 9 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual será o volume final do recipiente quando aquecido até 125^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede o volume final de um recipiente cúbico de vidro quando aquecido. Informações dadas:
V_0 = 500\\ \mathrm{cm}^3 (volume inicial), temperatura inicial =25^\circ\mathrm{C}, temperatura final =125^\circ\mathrm{C}, coeficiente de dilatação linear do vidro \alpha = 9\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
A pergunta implícita é: qual é o volume V do recipiente após o aquecimento até 125^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceito e fórmulas importantes (muito didático, passo a passo):\n
Quando um sólido isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções) tem suas dimensões aumentadas por aquecimento, usamos duas ideias relacionadas:\n
  1. Dilatação linear: se um comprimento inicial L_0 sofre aumento com coeficiente \alpha ao subir \Delta T graus, o novo comprimento é
L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Aqui \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}), L_0 é o comprimento inicial e \Delta T é a variação de temperatura.\n
2) Dilatação volumétrica: para um sólido que expande igualmente nas três direções (como um cubo de vidro), o volume inicial V_0 se transforma em
V = V_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)^3,
porque cada aresta cresce por um fator (1+\alpha\Delta T) e o volume é produto das três arestas.\n
Para variações pequenas de temperatura (e \alpha pequeno), é comum usar a aproximação linearizada:
(1+\alpha\Delta T)^3 \approx 1 + 3\alpha\Delta T,
pois termos de ordem (\alpha\Delta T)^2 e (\alpha\Delta T)^3 são muito pequenos e podem ser desprezados. Definimos o coeficiente volumétrico \beta \approx 3\alpha, e então
V \approx V_0\,(1 + \beta\,\Delta T) = V_0\,(1 + 3\alpha\,\Delta T).
Explicando por que isso funciona: ao desenvolver (1+x)^3 em série (com x=\alpha\Delta T) obtemos 1+3x+3x^2+x^3. Se x é da ordem de 10^{-3} ou menor, 3x^2 é da ordem de 10^{-6} e é desprezível para a precisão típica de exercícios como este.

Passo 3

Calcule a variação de temperatura \Delta T:\n
\Delta T = 125^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcule o coeficiente volumétrico aproximado \beta:\n
\beta \approx 3\alpha = 3 \times 9\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 27\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 2,7\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Use a fórmula aproximada do volume final:
V \approx V_0\,(1 + \beta\,\Delta T).
Substituindo os valores:
1 + \beta\,\Delta T = 1 + (2,7\times 10^{-5})\times 100 = 1 + 2,7\times 10^{-3} = 1,0027.
Agora calcule V:
V \approx 500 \times 1,0027 = 501,35\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Verificação rápida usando a expressão exata V = V_0(1+\alpha\Delta T)^3 (só para ver o quanto a aproximação erra):\n
1 + \alpha\Delta T = 1 + (9\times 10^{-6})\times 100 = 1 + 9\times 10^{-4} = 1,0009.
(1,0009)^3 \approx 1,00270243\quad(\text{desenvolvendo }(1+x)^3).
V = 500\times 1,00270243 \approx 501,351215\\ \mathrm{cm}^3.
A diferença entre a aproximação linear e o valor “exato” é ínfima (casa dos 10^{-3}\\ \mathrm{cm}^3), então a aproximação foi plenamente adequada.

Resposta

501,35\\ \mathrm{cm}^3

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