Um recipiente cúbico de vidro com volume inicial de
está a
. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é
, qual será o volume final do recipiente quando aquecido até
?
Passo 1
O enunciado pede o volume final de um recipiente cúbico de vidro quando aquecido. Informações dadas:
(volume inicial), temperatura inicial
, temperatura final
, coeficiente de dilatação linear do vidro
.
A pergunta implícita é: qual é o volume do recipiente após o aquecimento até
?
A pergunta implícita é: qual é o volume
Passo 2
Conceito e fórmulas importantes (muito didático, passo a passo):\n
Quando um sólido isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções) tem suas dimensões aumentadas por aquecimento, usamos duas ideias relacionadas:\n
Quando um sólido isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções) tem suas dimensões aumentadas por aquecimento, usamos duas ideias relacionadas:\n
- Dilatação linear: se um comprimento inicial
sofre aumento com coeficiente ao subir graus, o novo comprimento é
Aqui
é o coeficiente de dilatação linear (unidade
),
é o comprimento inicial e
é a variação de temperatura.\n
2) Dilatação volumétrica: para um sólido que expande igualmente nas três direções (como um cubo de vidro), o volume inicial se transforma em
2) Dilatação volumétrica: para um sólido que expande igualmente nas três direções (como um cubo de vidro), o volume inicial
porque cada aresta cresce por um fator
e o volume é produto das três arestas.\n
Para variações pequenas de temperatura (e pequeno), é comum usar a aproximação linearizada:
Para variações pequenas de temperatura (e
pois termos de ordem
e
são muito pequenos e podem ser desprezados. Definimos o coeficiente volumétrico
, e então
Explicando por que isso funciona: ao desenvolver
em série (com
) obtemos
. Se
é da ordem de
ou menor,
é da ordem de
e é desprezível para a precisão típica de exercícios como este.
Passo 3
Calcule a variação de temperatura
:\n
Passo 4
Calcule o coeficiente volumétrico aproximado
:\n
Passo 5
Use a fórmula aproximada do volume final:
Substituindo os valores:
Agora calcule
:
Passo 6
Verificação rápida usando a expressão exata
(só para ver o quanto a aproximação erra):\n
A diferença entre a aproximação linear e o valor “exato” é ínfima (casa dos
), então a aproximação foi plenamente adequada.