Uma barra de aço de 2,0 \mathrm{~m} de comprimento está a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do aço é 1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual será o comprimento final da barra quando a temperatura atingir 120^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Comprimento inicial da barra: L_0 = 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: T_i = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 120^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha = 1,2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que se pede: determinar o comprimento final da barra L_f quando a temperatura atingir 120^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como um amigo): quando um corpo longo (como uma barra) muda de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente de maneira proporcional ao comprimento inicial e à variação de temperatura. A fórmula da dilatação linear é
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento (em metros, por exemplo);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidades de ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • L_0 é o comprimento inicial (em metros);
  • \Delta T é a variação de temperatura dada por \Delta T = T_f - T_i (em ^\circ\mathrm{C}).
Essa fórmula é uma aproximação linear válida para variações de temperatura não muito grandes — e aqui \Delta T é razoavelmente pequeno (100°C), então funciona bem.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_f - T_i = 120^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula e fazer as contas passo a passo. Primeiro escrevo a expressão:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T = (1,2\times10^{-5})\times(2,0)\times(100).
Agora simplifico em etapas:
1,2\times10^{-5}\times100 = 1,2\times10^{-3},
portanto
\Delta L = 1,2\times10^{-3}\times2,0 = 2,4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para forma decimal isso é
\Delta L = 0,0024\\ \mathrm{m},
o que dá, em milímetros, \Delta L = 2,4\\ \mathrm{mm}. (Intuição: a barra aumenta só alguns milímetros — pouco, mas mensurável.)

Passo 5

Calcular o comprimento final somando a variação ao comprimento inicial:
L_f = L_0 + \Delta L = 2,0\\ \mathrm{m} + 0,0024\\ \mathrm{m} = 2,0024\\ \mathrm{m}.

Resposta

2,0024\\ \mathrm{m}

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