Uma viga de concreto armado com comprimento inicial de 8,0 \mathrm{~m}, a uma temperatura de 20
{ }^{\circ} \mathrm{C}, é exposta ao sol e sua temperatura sobe para 50^{\circ} \mathrm{C}.
Considere os coeficientes de dilatação linear médios:
  • Concreto: \alpha \_\mathrm{c}=1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
  • Aço: \alpha \_\mathrm{a}=1,1 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
Dados: \Delta \mathrm{L}=\mathrm{L}_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta \mathrm{~T}
Questões:
  1. Determine a variação de comprimento do concreto e do aço (em mm).
  2. Calcule a diferença absoluta de dilatação entre os dois materiais (em mm).
  3. Explique, em termos estruturais, por que é importante que os coeficientes de dilatação do
    aço e do concreto sejam próximos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras. Vou listar o que foi dado e o que precisamos encontrar:
Dados fornecidos:
  • Comprimento inicial: L_0=8,0\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 50^\circ\mathrm{C}.
  • Variação de temperatura: \Delta T=50^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do concreto: \alpha_{\mathrm{c}}=1,2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha_{\mathrm{a}}=1,1\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Fórmula dada para dilatação: \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T.
Perguntas:
  1. Calcular a variação de comprimento do concreto e do aço (em mm).
  2. Calcular a diferença absoluta de dilatação entre os dois materiais (em mm).
  3. Explicar, em termos estruturais, por que é importante que \alpha_{\mathrm{c}} e \alpha_{\mathrm{a}} sejam próximos.

Passo 2

Primeira coisa prática: padronizar unidades para poder calcular e depois converter para milímetros (porque o enunciado quer a resposta em mm).
  • O comprimento inicial em metros é L_0=8,0\\ \mathrm{m}. Para passar a mm usamos 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}. Então
L_0 = 8,0\\ \mathrm{m} = 8000\\ \mathrm{mm}.
  • A variação de temperatura já está calculada: \Delta T=30^\circ\mathrm{C}.
Vou calcular \Delta L usando a fórmula dada. Depois converto o resultado para milímetros (multiplicando metros por 1000) ou, como já converti L_0 para mm, posso usar diretamente L_0=8000\\ \mathrm{mm} na fórmula para obter \Delta L em mm.

Passo 3

Cálculo da dilatação do concreto passo a passo.
Usamos a fórmula
\Delta L = L_0\cdot \alpha \cdot \Delta T.
Para o concreto, substituindo:
\Delta L_{\mathrm{c}} = 8000\\ \mathrm{mm} \cdot 1,2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} \cdot 30^\circ\mathrm{C}.
Agora faço as contas com cuidado. Multiplico \alpha_{\mathrm{c}} por \Delta T:
1,2\times 10^{-5}\times 30 = 3,6\times 10^{-4}.
Multiplico pelo comprimento:
\Delta L_{\mathrm{c}} = 8000 \times 3,6\times 10^{-4}.
Calculo o produto:
8000 \times 3,6\times 10^{-4} = 8000 \times 0,00036 = 2,88.
Portanto
\Delta L_{\mathrm{c}} = 2,88\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo da dilatação do aço passo a passo.
Usando a mesma fórmula para o aço:
\Delta L_{\mathrm{a}} = 8000\\ \mathrm{mm} \cdot 1,1\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} \cdot 30^\circ\mathrm{C}.
Primeiro \alpha_{\mathrm{a}}\cdot \Delta T:
1,1\times 10^{-5}\times 30 = 3,3\times 10^{-4}.
Agora o produto com L_0:
\Delta L_{\mathrm{a}} = 8000 \times 3,3\times 10^{-4} = 8000 \times 0,00033 = 2,64.
Portanto
\Delta L_{\mathrm{a}} = 2,64\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Cálculo da diferença absoluta de dilatação entre concreto e aço.
A diferença absoluta é
\left|\Delta L_{\mathrm{c}}-\Delta L_{\mathrm{a}}\right| = |2,88\\ \mathrm{mm}-2,64\\ \mathrm{mm}|.
Fazendo a subtração:
|2,88-2,64| = 0,24.
Logo a diferença absoluta é
0,24\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Explicação didática (passo a passo) do porquê é importante que \alpha_{\mathrm{c}} e \alpha_{\mathrm{a}} sejam próximos — explicando conceitos e consequências práticas.
  1. O que significa ter coeficientes próximos?
    Se dois materiais ligados (como o aço de uma armadura e o concreto que o envolve) têm coeficientes de dilatação linear parecidos, ao variar a temperatura ambos tendem a alongar (ou encolher) quase igualmente. Assim, a interface entre eles sofre pouco esforço relativo de alongamento/encurtamento.
  2. E quando eles são diferentes o que acontece?
    Se houver diferença significativa em \alpha, quando a temperatura muda um material quer mudar de comprimento mais do que o outro. Se a armadura e o concreto estiverem perfeitamente aderidos (ligaçao sem deslizamento), essa diferença gera esforços internos de cisalhamento e tração/compressão na interface e em cada material. Em termos simples: um “puxa” o outro.
  3. Consequência estrutural prática (sem jargão):
  • Se a peça pode expandir livremente (sem restrição), a diferença só gera um pequeno deslizamento interno; problema pequeno.
  • Se a peça estiver restrita (por apoios, ligação a outras partes ou por continuidade da estrutura), a dilatação térmica é impedida e surgem tensões térmicas. Para um corpo totalmente impedido de alongar, a tensão térmica aproximada é dada por
\sigma \approx E\cdot \alpha \cdot \Delta T,
onde E é o módulo de elasticidade (rigidez) do material. Isso significa que mesmo uma pequena \alpha com grande E e \Delta T pode gerar tensões altas. Aqui expliquei as variáveis: \sigma é a tensão (força por área), E é a rigidez do material, \alpha é o coeficiente de dilatação e \Delta T a variação de temperatura.
  1. Por que isso importa para concreto armado?
  • O concreto tem resistência à compressão boa, mas resistência à tração fraca. Tensões de tração térmica (causadas por impedimento de expansão) podem gerar fissuras no concreto.
  • A armadura de aço, se sofrer tensões diferentes das do concreto, pode deslizar, romper a aderência ou entrar em estados de tensão que prejudicam a durabilidade.
  • Se \alpha_{\mathrm{a}} \alpha_{\mathrm{c}}, ambos “andam juntos” quando a temperatura muda: menos tensões internas, menos fissuração, melhor comportamento da estrutura a longo prazo.
  1. Um exemplo que mostra a gravidade (valores típicos, só para intuição):
    Valores típicos (não dados no enunciado) são E_{\mathrm{c}}\approx 30\\ \mathrm{GPa} para concreto e E_{\mathrm{a}}\approx 200\\ \mathrm{GPa} para aço. Se a peça estivesse totalmente impedida de expandir, a tensão térmica no concreto seria da ordem de E_{\mathrm{c}}\alpha_{\mathrm{c}}\Delta T. Com \alpha_{\mathrm{c}}=1{,}2\times 10^{-5} e \Delta T=30^\circ\mathrm{C} isso dá aproximadamente
\sigma_{\mathrm{c}}\approx 30\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}\times 1{,}2\times 10^{-5}\times 30 \approx 10{,}8\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=10{,}8\\ \mathrm{MPa},
valor esse que pode ser maior que a resistência à tração do concreto (tipicamente alguns MPa), então fissuras aparecem. Esse cálculo ilustra por que diferenças térmicas restritas são perigosas.
  1. Conclusão prática curta:
    Por isso, na prática de engenharia prefere-se que \alpha_{\mathrm{a}} e \alpha_{\mathrm{c}} sejam muito próximos — isso minimiza esforços térmicos diferenciais, fissuração, perda de aderência e problemas de durabilidade.

Resposta

\Delta L_{\mathrm{c}} = 2,88\\ \mathrm{mm}
\Delta L_{\mathrm{a}} = 2,64\\ \mathrm{mm}
Diferença absoluta = 0,24\\ \mathrm{mm}.

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