Uma chapa quadrada de alumínio possui lado inicial de 50 cm a 30^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o
coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, qual será a área final da chapa quando aquecida até 130^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Lado inicial da chapa: \;L_0=50\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial: \;T_i=30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: \;T_f=130^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \;\alpha=2{,}4\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Pergunta: qual será a área final da chapa quando aquecida até 130^\circ\mathrm{C}?
Informação útil que já se infere do enunciado:
  • Variação de temperatura \Delta T = T_f - T_i = 130^\circ\mathrm{C} - 30^\circ\mathrm{C} = 100^\circ\mathrm{C}.
  • A chapa é quadrada, então a área inicial é \;A_0 = L_0^2.

Passo 2

Conceito e fórmula da dilatação linear (aulas rápidas e claras):
  • Quando um corpo sofre aquecimento uniforme, cada comprimento aumenta segundo a fórmula
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde \Delta L é o aumento do comprimento, \alpha é o coeficiente de dilatação linear, L_0 é o comprimento inicial e \Delta T é a variação de temperatura.
  • É mais prático usar a forma que já dá o comprimento final:
L_f = L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Explicando cada símbolo: \;L_f é o comprimento final (lado da chapa depois do aquecimento); \alpha é dado; \Delta T já calculada no Passo 1.

Passo 3

Calcular o lado final da chapa aplicando a fórmula da dilatação linear:
  • Primeiro calcule o fator de expansão linear:
1+\alpha\,\Delta T = 1 + \bigl(2{,}4\times 10^{-5}\bigr)\times 100.
  • Faça a conta dentro da fórmula:
\bigl(2{,}4\times 10^{-5}\bigr)\times 100 = 2{,}4\times 10^{-3} = 0{,}0024,
portanto
1+\alpha\,\Delta T = 1 + 0{,}0024 = 1{,}0024.
  • Agora o lado final:
L_f = 50\\ \mathrm{cm}\times 1{,}0024 = 50{,}12\\ \mathrm{cm}.
Interpretação rápida: o lado cresceu 0{,}12\\ \mathrm{cm} (ou 1{,}2\\ \mathrm{mm}), que é pequeno — típico de dilatações térmicas.

Passo 4

Como obter a área final (duas maneiras e por que são equivalentes para um quadrado):
  • Método direto (exato): como a chapa continua quadrada, a área final é o quadrado do lado final:
A_f = L_f^2 = \bigl(L_0(1+\alpha\,\Delta T)\bigr)^2 = L_0^2\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr)^2.
  • Método via coeficiente de dilatação superficial aproximado: define-se \beta tal que \beta\approx 2\alpha para superfícies isotrópicas; então
A_f \approx A_0\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr)\approx A_0\bigl(1+2\alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui vou calcular o resultado exato usando a fórmula com o quadrado, e então mostrar a aproximação para comparar (é pedagógico e rápido na prova).

Passo 5

Calcular a área inicial e aplicar a fórmula exata:
  • Área inicial:
A_0 = L_0^2 = (50\\ \mathrm{cm})^2 = 2500\\ \mathrm{cm}^2.
  • Usando a fórmula exata com o lado final:
A_f = L_f^2 = (50{,}12\\ \mathrm{cm})^2.
Façamos a expansão para facilitar a conta sem calculadora:
(50{,}12)^2 = (50 + 0{,}12)^2 = 50^2 + 2\cdot 50\cdot 0{,}12 + (0{,}12)^2.
  • Calcule termo a termo:
50^2 = 2500,
2\cdot 50\cdot 0{,}12 = 100\cdot 0{,}12 = 12,
(0{,}12)^2 = 0{,}0144.
Somando:
A_f = 2500 + 12 + 0{,}0144 = 2512{,}0144\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 6

Verificando a aproximação pelo coeficiente superficial (confirmação rápida):
  • \beta \approx 2\alpha = 2\times 2{,}4\times 10^{-5} = 4{,}8\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Aproximação:
A_f \approx A_0\bigl(1+2\alpha\,\Delta T\bigr)=2500\bigl(1+4{,}8\times 10^{-5}\times 100\bigr).
4{,}8\times 10^{-5}\times 100 = 4{,}8\times 10^{-3} = 0{,}0048,
A_f \approx 2500\times 1{,}0048 = 2512{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • Comparação: valor aproximado 2512{,}0\\ \mathrm{cm}^2 versus valor exato 2512{,}0144\\ \mathrm{cm}^2. A diferença é 0{,}0144\\ \mathrm{cm}^2, desprezível aqui — por isso a aproximação A_f\approx A_0(1+2\alpha\Delta T) funciona muito bem em provas quando \alpha\Delta T é pequeno.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova:
  • Resultado prático: a área aumentou cerca de 0{,}48\% (pouco menos de meio por cento), então é um efeito pequeno.
  • Dica para prova: se der coeficiente linear e peça área, calcule o lado final e eleve ao quadrado, ou aplique diretamente A_f = A_0(1+\alpha\Delta T)^2; para cálculos rápidos, usar A_f\approx A_0(1+2\alpha\Delta T) costuma ser suficiente.

Resposta

\;2512{,}0144\\ \mathrm{cm}^2

Exercícios relacionados