Uma chapa quadrada de alumínio possui lado inicial de 50 cm a
. Sabendo que o
coeficiente de dilatação linear do alumínio é
, qual será a área final da chapa quando aquecida até
?
coeficiente de dilatação linear do alumínio é
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Lado inicial da chapa:
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Pergunta: qual será a área final da chapa quando aquecida até
?
Informação útil que já se infere do enunciado:
- Variação de temperatura
. - A chapa é quadrada, então a área inicial é
.
Passo 2
Conceito e fórmula da dilatação linear (aulas rápidas e claras):
- Quando um corpo sofre aquecimento uniforme, cada comprimento aumenta segundo a fórmula
onde
é o aumento do comprimento,
é o coeficiente de dilatação linear,
é o comprimento inicial e
é a variação de temperatura.
- É mais prático usar a forma que já dá o comprimento final:
Explicando cada símbolo:
é o comprimento final (lado da chapa depois do aquecimento);
é dado;
já calculada no Passo 1.
Passo 3
Calcular o lado final da chapa aplicando a fórmula da dilatação linear:
- Primeiro calcule o fator de expansão linear:
- Faça a conta dentro da fórmula:
portanto
- Agora o lado final:
Interpretação rápida: o lado cresceu
(ou
), que é pequeno — típico de dilatações térmicas.
Passo 4
Como obter a área final (duas maneiras e por que são equivalentes para um quadrado):
- Método direto (exato): como a chapa continua quadrada, a área final é o quadrado do lado final:
- Método via coeficiente de dilatação superficial aproximado: define-se
tal que para superfícies isotrópicas; então
Aqui vou calcular o resultado exato usando a fórmula com o quadrado, e então mostrar a aproximação para comparar (é pedagógico e rápido na prova).
Passo 5
Calcular a área inicial e aplicar a fórmula exata:
- Área inicial:
- Usando a fórmula exata com o lado final:
Façamos a expansão para facilitar a conta sem calculadora:
- Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 6
Verificando a aproximação pelo coeficiente superficial (confirmação rápida):
-
. - Aproximação:
- Comparação: valor aproximado
versus valor exato . A diferença é , desprezível aqui — por isso a aproximação funciona muito bem em provas quando é pequeno.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova:
- Resultado prático: a área aumentou cerca de
(pouco menos de meio por cento), então é um efeito pequeno. - Dica para prova: se der coeficiente linear e peça área, calcule o lado final e eleve ao quadrado, ou aplique diretamente
; para cálculos rápidos, usar costuma ser suficiente.